Какова длина вектора a-2b, если длины векторов a и b равны 2 и 1 соответственно, и они образуют угол п/3?

Lunnyy_Svet

45

Чтобы найти длину вектора \( \mathbf{a} - 2\mathbf{b} \), сначала необходимо понять, как мы можем выразить этот вектор через известные значения. Давайте разберемся по шагам.

1. Векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) имеют заданные длины. Соответственно, длина \(\mathbf{a}\) равна 2, а длина \(\mathbf{b}\) равна 1.
2. Также известно, что эти два вектора образуют угол \(\frac{\pi}{3}\) (или 60 градусов). Это дает нам информацию о направлении векторов.

Для решения этой задачи используем формулу для нахождения длины вектора:

\[
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
\]

где \(v_x\) - проекция вектора \(\mathbf{v}\) на ось \(x\), а \(v_y\) - проекция вектора \(\mathbf{v}\) на ось \(y\).

Теперь найдем проекции \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) на соответствующие оси.

Для начала, разложим векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) на координаты. При этом предполагаем, что начало координат находится в начале вектора \(\mathbf{a}\).

Вектор \(\mathbf{a}\) имеет длину 2 и образует угол \(\frac{\pi}{3}\) с положительным направлением оси \(x\). Тогда его координаты равны:

\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix}
a_x \\
a_y
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
2 \cos(\frac{\pi}{3}) \\
2 \sin(\frac{\pi}{3})
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 \\
\sqrt{3}
\end{pmatrix}
\]

Теперь разложим вектор \(\mathbf{b}\) на координаты. Так как вектор \(\mathbf{b}\) имеет длину 1 и образует угол \(\frac{\pi}{3}\) с положительным направлением оси \(x\), его координаты будут:

\[
\mathbf{b} = \begin{pmatrix}
b_x \\
b_y
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 \cos(\frac{\pi}{3}) \\
1 \sin(\frac{\pi}{3})
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix}
\]

Теперь выразим вектор \(\mathbf{a} - 2\mathbf{b}\) в координатной форме:

\[
\mathbf{a} - 2\mathbf{b} = \begin{pmatrix}
a_x \\
a_y
\end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix}
b_x \\
b_y
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 \\
\sqrt{3}
\end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 - 2 \cdot \frac{1}{2} \\
\sqrt{3} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix}
\]

Как видно из выражения, длина вектора \( \mathbf{a} - 2\mathbf{b} \) равна 0. Это означает, что этот вектор является нулевым вектором, то есть не имеет длины и направления.