Какова длина вектора Градиента функции z=x^3+(9x^2ln)4 в точке (2:1)?

Магнитный_Магнат

30

Для нахождения длины вектора Градиента функции, нам сначала необходимо вычислить сам Градиент функции \(z\), а затем найти его модуль.

Шаг 1: Вычисление Градиента функции \(z\)
Градиент функции \(z\) определяется как вектор, состоящий из производных функции по каждой из переменных. В данном случае у нас есть функция \(z = x^3 + (9x^2 \ln{4})\), где переменные - это \(x\) и \(y\). Чтобы получить Градиент, вычислим его производные по \(x\) и \(y\).

Производная по \(x\):
\(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^3 + (9x^2 \ln{4}))\)
Для этого применим правила дифференцирования:
\(\frac{\partial}{\partial x} (x^3 + (9x^2 \ln{4})) = 3x^2 + 18x \ln{4}\)

Теперь имеем первую компоненту вектора Градиента.

Производная по \(y\):
Поскольку функция \(z\) не зависит от переменной \(y\), производная по этой переменной будет равна нулю:
\(\frac{\partial z}{\partial y} = 0\)

Теперь у нас есть Градиент функции \(z\): \(\nabla z = (3x^2 + 18x \ln{4}, 0)\)

Шаг 2: Вычисление длины вектора Градиента
Длина вектора Градиента определяется по формуле:
\(|\nabla z| = \sqrt{(3x^2 + 18x \ln{4})^2 + 0^2}\)

Подставим значения \(x = 2\) и \(y = 1\) в формулу:

\(|\nabla z| = \sqrt{(3 \cdot 2^2 + 18 \cdot 2 \ln{4})^2 + 0^2}\)

\(|\nabla z| = \sqrt{(12 + 36 \ln{4})^2 + 0^2}\)

\(|\nabla z| = \sqrt{(12 + 36 \ln{4})^2}\)

\(|\nabla z| = 12 + 36 \ln{4}\)

Таким образом, длина вектора Градиента функции \(z\) в точке (2:1) составляет \(12 + 36 \ln{4}\).