Какова длина волны де Бройля электрона на первой борной орбите атома водорода? Задачу решать с помощью данных: радиус

Vesenniy_Dozhd

31

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу де Бройля для расчета длины волны:

\[
\lambda = \frac{h}{p}
\]

где \(\lambda\) - длина волны, \(h\) - постоянная Планка, а \(p\) - импульс электрона.

Первым шагом в решении задачи будет расчет импульса электрона. Используя формулу импульса \(p = m \cdot v\), где \(m\) - масса электрона, а \(v\) - его скорость, мы можем вычислить импульс.

Однако у нас нет информации о скорости электрона. Но мы можем использовать известную формулу для энергии кинетической энергии первого электрона на боровской орбите атома водорода:

\[
E = -\frac{{13.6 \, \text{{эВ}}}}{{n^2}}
\]

где \(E\) - энергия электрона, \(n\) - главное квантовое число (в нашем случае, \(n = 1\)).

Найдя энергию электрона, мы можем использовать формулу энергии:

\[
E = \frac{{p^2}}{{2m}}
\]

для расчета импульса \(p\). Затем мы можем использовать найденный импульс для вычисления длины волны де Бройля:

\[
\lambda = \frac{h}{p}
\]

Теперь давайте выполнять эти шаги по очереди.

Шаг 1: Найдем энергию электрона на первой борной орбите.
Подставляем \(n = 1\) в формулу энергии и находим:

\[
E = -\frac{{13.6 \, \text{{эВ}}}}{{1^2}} = -13.6 \, \text{{эВ}}
\]

Шаг 2: Найдем импульс электрона.
Подставляем значение энергии в формулу энергии и находим:

\[
-13.6 \, \text{{эВ}} = \frac{{p^2}}{{2m}}
\]

Переходим в систему СИ, где заменим значения в джоулях:

\[
-13.6 \, \text{{эВ}} = \frac{{p^2}}{{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \, \text{{кг}}}}
\]

Упростим выражение и найдем значение импульса:

\[
p^2 = 2 \times 9.1 \times 10^{-31} \, \text{{кг}} \times (-13.6 \times 1.6 \times 10^{-19} \, \text{{Дж}})
\]

\[
p = \sqrt{{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \, \text{{кг}} \times (-13.6 \times 1.6 \times 10^{-19} \, \text{{Дж}})}}
\]

\[
p \approx 2.67 \times 10^{-24} \, \text{{кг м/с}}
\]

Шаг 3: Найдем длину волны де Бройля.
Подставляем значение импульса в формулу де Бройля и находим:

\[
\lambda = \frac{{6.63 \times 10^{-34} \, \text{{Дж с}}}}{{2.67 \times 10^{-24} \, \text{{кг м/с}}}}
\]

\[
\lambda \approx 2.48 \times 10^{-10} \, \text{{м}}
\]

Таким образом, длина волны де Бройля электрона на первой борной орбите атома водорода составляет примерно \(2.48 \times 10^{-10}\) метра.