Какова длина волны резонансной линии (линии серии Лаймана с наибольшей длиной волны) для атома водорода и ионов He+и?

Fontan

33

Для решения этой задачи, давайте разберемся сначала с основами серий Лаймана и спектральными линиями.

Серия Лаймана - это набор спектральных линий, возникающих при переходе электрона в атоме водорода из более высоко расположенного энергетического уровня на основной уровень. Каждая спектральная линия соответствует определенной длине волны.

Основной уровень водорода имеет энергию \(E_n = -13.6\) эВ, где \(n\) - любое положительное целое число, обозначающее энергетический уровень. Серия Лаймана включает линии, соответствующие переходам с более высоких уровней с энергиями \(E_i\) на основной уровень \(E_f = -13.6\) эВ.

Формула, которую мы можем использовать для нахождения длины волны резонансной линии данной серии, называется формулой Ридберга:
\[
\frac{1}{\lambda} = R \left(\frac{1}{{n_f}^2} - \frac{1}{{n_i}^2}\right)
\]
где \(\lambda\) - длина волны (в метрах), \(R\) - постоянная Ридберга (\(R \approx 1.097 \times 10^7\) м\(^{-1}\)), а \(n_f\) и \(n_i\) - целые числа, обозначающие энергетические уровни.

Для нахождения резонансной линии с наибольшей длиной волны в серии Лаймана, необходимо найти переход, который обеспечивает наименьшую разность \(\Delta E = |E_i - E_f|\), то есть наибольший начальный энергетический уровень \(E_i\).

Для атома водорода \(n_i = 2\), а для иона He+ \(n_i = 3\). Подставив эти значения в формулу Ридберга, мы можем найти длины волн для обоих случаев:

Для атома водорода:
\[
\frac{1}{\lambda_1} = R \left(\frac{1}{{n_f}^2} - \frac{1}{{n_i}^2}\right) = R \left(\frac{1}{{1}^2} - \frac{1}{{2}^2}\right)
\]
\[
\frac{1}{\lambda_1} = R \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4} R
\]
\[
\lambda_1 = \frac{4}{3} \frac{1}{R} \approx \frac{4}{3} \times 10^{-7} \, \text{м}
\]

Для иона He+:
\[
\frac{1}{\lambda_2} = R \left(\frac{1}{{n_f}^2} - \frac{1}{{n_i}^2}\right) = R \left(\frac{1}{{1}^2} - \frac{1}{{3}^2}\right)
\]
\[
\frac{1}{\lambda_2} = R \left(1 - \frac{1}{9}\right) = \frac{8}{9} R
\]
\[
\lambda_2 = \frac{9}{8} \frac{1}{R} \approx \frac{9}{8} \times 10^{-7} \, \text{м}
\]

Итак, длина волны резонансной линии (линии серии Лаймана с наибольшей длиной волны) для атома водорода составляет около \(\frac{4}{3} \times 10^{-7}\) м (400 нм), а для иона He+ - около \(\frac{9}{8} \times 10^{-7}\) м (900 нм).