Какова длина высоты AH прямоугольного треугольника ABC, если длина гипотенузы BC равна 20 см и длина отрезка HC равна

Николаевич

31

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать теорему Пифагора, которая говорит о том, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
В нашем случае, гипотенуза BC равна 20 см.

Используя теорему Пифагора, можем записать:
\[AB^2 + HC^2 = BC^2\]

Обозначим длину отрезка AH как \(x\). Тогда, длина отрезка BH будет равна \(20 - x\).

Теперь заменим в уравнении значения и получим:
\[x^2 + HC^2 = 20^2\]
\[x^2 + HC^2 = 400\]

Теперь нам нужно найти длину высоты AH. Для этого нам понадобится величина HC.

Для решения вопроса, можно использовать теорему Пифагора в треугольнике AHC. Мы знаем, что длина гипотенузы BC равна 20 см. А длина отрезка HC равна 12 см.

Используя теорему Пифагора в треугольнике AHC, можем записать:
\[AH^2 = HC^2 + AC^2\]

Так как треугольник ABC - прямоугольный, то AC будет равна длине другого катета BH, то есть \(20 - x\) см.

Теперь заменим в уравнении значения и получим:
\[AH^2 = HC^2 + (20 - x)^2\]
\[AH^2 = 12^2 + (20 - x)^2\]
\[AH^2 = 144 + 400 - 40x + x^2\]
\[AH^2 = x^2 - 40x + 544\]

Теперь у нас есть два уравнения:
\[x^2 + HC^2 = 400\]
\[AH^2 = x^2 - 40x + 544\]

Для решения системы уравнений нам понадобится найти значения \(x\) и \(AH\).

Мы можем найти значение \(x\), решив первое уравнение относительно \(x\):
\[x^2 = 400 - HC^2\]
\[x = \sqrt{400 - HC^2}\]
\[x = \sqrt{400 - 12^2}\]
\[x = \sqrt{400 - 144}\]
\[x = \sqrt{256}\]
\[x = 16\]

Теперь подставим это значение \(x\) во второе уравнение для нахождения значения \(AH\):
\[AH^2 = 16^2 - 40 \cdot 16 + 544\]
\[AH^2 = 256 - 640 + 544\]
\[AH^2 = 160\]

Нам нужно найти значение \(AH\), а не \(AH^2\). Поэтому, возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:
\[AH = \sqrt{160}\]
\[AH \approx 12.65\]

Таким образом, длина высоты AH прямоугольного треугольника ABC составляет примерно 12.65 см.