Каковы углы треугольника abc, если окружность, вписанная в него и касающаяся его сторон в точках l, m и n, имеет углы

Dobryy_Angel

21

Чтобы определить значения углов треугольника \(abc\), воспользуемся свойствами вписанной окружности. Поскольку окружность касается сторон треугольника в точках \(l\), \(m\) и \(n\), мы можем сделать следующие наблюдения:

1. Все углы, образованные дотрагивающимися к окружности сторонами треугольника и хордой, проходящей через точки касания, равны половине центрального угла, соответствующего этой дуге.

2. Сумма всех углов треугольника равняется 180 градусам.

Давайте применим эти свойства к нашей задаче:

У нас есть углы вписанной окружности, равные 40, 60 и 80 градусам. Следовательно, каждый из этих углов является половиной центрального угла, соответствующего этой дуге. Давайте обозначим соответствующие центральные углы как \(A\), \(B\) и \(C\).

Таким образом, \(2A = 40^\circ\), \(2B = 60^\circ\) и \(2C = 80^\circ\).

Делим каждое уравнение на 2, чтобы найти значения центральных углов:

\[A = 20^\circ\]
\[B = 30^\circ\]
\[C = 40^\circ\]

Так как сумма всех углов треугольника равна 180 градусов, мы можем вычислить оставшийся угол треугольника \(abc\) следующим образом:

\[A + B + C + \text{оставшийся угол} = 180^\circ\]

Подставляя значения:

\[20^\circ + 30^\circ + 40^\circ + \text{оставшийся угол} = 180^\circ\]

Суммируя:

\[90^\circ + \text{оставшийся угол} = 180^\circ\]

Вычитая \(90^\circ\) из обеих сторон:

\[\text{оставшийся угол} = 90^\circ\]

Таким образом, оставшийся угол треугольника \(abc\) равен \(90^\circ\).

Итак, значения углов треугольника \(abc\) равны \(20^\circ\), \(30^\circ\), \(40^\circ\) и \(90^\circ\).