Какова длина высоты, опущенной из вершины треугольника с координатами a(2; 1); b(-2; -2); c(-8

Ледяная_Душа

31

Для начала, давайте определимся, какие данные у нас есть. У нас есть координаты вершин треугольника: a(2; 1), b(-2; -2) и c(-8; 4).

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться формулой для расчета длины отрезка между двумя точками на плоскости. Формула такая:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Где d - расстояние между двумя точками, (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты этих точек.

Теперь давайте применим эту формулу к нашей задаче.

1. Рассчитаем длину отрезка между вершинами a(2; 1) и b(-2; -2):
\[d_{ab} = \sqrt{{(-2 - 2)^2 + (-2 - 1)^2}}\]
\[d_{ab} = \sqrt{{(-4)^2 + (-3)^2}}\]
\[d_{ab} = \sqrt{{16 + 9}}\]
\[d_{ab} = \sqrt{{25}}\]
\[d_{ab} = 5\]

2. Теперь рассчитаем длину отрезка между вершинами a(2; 1) и c(-8; 4):
\[d_{ac} = \sqrt{{(-8 - 2)^2 + (4 - 1)^2}}\]
\[d_{ac} = \sqrt{{(-10)^2 + (3)^2}}\]
\[d_{ac} = \sqrt{{100 + 9}}\]
\[d_{ac} = \sqrt{{109}}\]

Итак, мы рассчитали длину отрезков ab и ac, которые равны 5 и \(\sqrt{{109}}\) соответственно.

Теперь, чтобы найти длину высоты, опущенной из вершины треугольника, нужно рассмотреть основание высоты.

Основание высоты - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной и перпендикулярный ей. Длина высоты равна расстоянию между вершиной треугольника и прямой, на которой лежит отрезок, являющийся основанием высоты.

В нашем случае, высота будет опущена из вершины треугольника с координатами a(2; 1), а основанием высоты будет сторона bc.

Теперь, чтобы найти длину высоты, нам нужно сначала найти уравнение прямой, на которой лежит основание высоты.

Для этого нам понадобится найти уравнение прямой, проходящей через две точки b(-2; -2) и c(-8; 4).

1. Рассчитаем наклон прямой m, используя формулу:
\[m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]
\[m = \frac{{4 - (-2)}}{{-8 - (-2)}}\]
\[m = \frac{{6}}{{-6}}\]
\[m = -1\]

2. Используя найденный наклон m и одну из точек b(-2; -2), рассчитаем значение свободного члена уравнения прямой b:
\[b = y - m \cdot x\]
\[b = -2 - (-1) \cdot (-2)\]
\[b = -2 - 2\]
\[b = -4\]

3. Теперь у нас есть уравнение прямой, проходящей через b(-2; -2) и c(-8; 4), которое выглядит так:
\[y = -x - 4\]

Теперь, чтобы найти длину высоты, нам нужно найти расстояние между точкой a(2; 1) и этой прямой.

Для этого мы можем воспользоваться формулой для расчета расстояния между точкой и прямой:

\[d = \frac{{|ax + by + c|}}{{\sqrt{{a^2 + b^2}}}}\]

Где d - расстояние между точкой и прямой, a, b - коэффициенты прямой, x, y - координаты точки, а c - свободный член уравнения прямой.

Итак, применим формулу для нашей задачи.

1. Запишем уравнение прямой в общем виде a₁x + b₁y + c₁ = 0:
\[x + y + 4 = 0\]

2. Найдем коэффициенты a, b и c:
\[a = 1, b = 1, c = 4\]

3. Подставим значения в формулу и рассчитаем:
\[d = \frac{{|1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 4|}}{{\sqrt{{1^2 + 1^2}}}}\]
\[d = \frac{{|2 + 1 + 4|}}{{\sqrt{{2 + 1}}}}\]
\[d = \frac{{|7|}}{{\sqrt{{3}}}}\]
\[d = \frac{{7}}{{\sqrt{{3}}}}\]

Итак, длина высоты, опущенной из вершины треугольника с координатами a(2; 1), равна \(\frac{{7}}{{\sqrt{{3}}}}\).

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как были рассчитаны длины отрезков и длина высоты в данной задаче.