Какова длина высоты, опущенной на основание равнобедренного треугольника, вписанного в окружность радиуса
Какова длина высоты, опущенной на основание равнобедренного треугольника, вписанного в окружность радиуса 7 с основанием длиной 4 корень из 10?
Korova 61
Для начала, давайте рассмотрим геометрические свойства равнобедренного треугольника, вписанного в окружность. Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны, а вписанная окружность касается всех трёх сторон треугольника.Давайте обозначим длину высоты, опущенной на основание треугольника, как \(h\). Так как треугольник равнобедренный, то высота также является медианой и биссектрисой.
По свойству медианы, она делит основание на две равные части. Значит, длина половины основания будет равна \(2\sqrt{3}\).
Также, по свойству биссектрисы, она делит противоположный угол на два равных угла. Из этого следует, что высота является биссектрисой угла основания, то есть она делит этот угол пополам.
Теперь, чтобы решить задачу, давайте рассмотрим треугольник, состоящий из половины основания, половины высоты и радиуса окружности. Этот треугольник является прямоугольным треугольником, и мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины высоты.
По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. В нашем случае, катетами являются половина основания (\(2\sqrt{3}\)) и половина высоты (\(h/2\)), а гипотенузой является радиус окружности (7). Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:
\((2\sqrt{3})^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = 7^2\)
Раскроем скобки и упростим выражение:
\(12 + \frac{h^2}{4} = 49\)
Перенесём 12 на другую сторону уравнения:
\(\frac{h^2}{4} = 49 - 12\)
Выполним вычисления:
\(\frac{h^2}{4} = 37\)
Умножим обе стороны уравнения на 4:
\(h^2 = 148\)
Извлечём квадратный корень для получения значения \(h\):
\(h = \sqrt{148}\)
Теперь, мы можем упростить корень:
\(h = \sqrt{4 \cdot 37}\)
Мы можем разбить корень на два корня:
\(h = \sqrt{4} \cdot \sqrt{37}\)
\(h = 2\sqrt{37}\)
Таким образом, длина высоты, опущенной на основание равнобедренного треугольника, вписанного в окружность радиуса 7 с основанием длиной \(4\sqrt{3}\), равна \(2\sqrt{37}\).