Какова должна быть амплитуда (в мм) вертикальных гармонических колебаний площадки, чтобы песчинка начала подскакивать?

Yarost

28

Чтобы решить данную задачу, нам нужно разобраться в основах вертикальных гармонических колебаний.

Вертикальные гармонические колебания моделируются уравнением гармонического осциллятора:

$$y(t)=A\cdot \sin (\omega t+\phi )$$

где:
- $y(t)$ - вертикальное перемещение
- $t$ - время
- $A$ - амплитуда колебаний (то, что нам необходимо найти)
- $\omega$ - угловая частота колебаний
- $\phi$ - начальная фаза колебаний

В данной задаче нам нужно найти амплитуду $A$, чтобы песчинка начала подскакивать. Критерием подскакивания является достижение песчинкой вершин колебаний.

Вершины колебаний достигаются в моменты времени, когда синусоида обращается в ноль. То есть, когда $\sin (\omega t+\phi )=0$. Зная это, мы можем написать следующее:

$\omega t+\phi =k\cdot \pi$

где $k$ - целое число (1, 2, 3, ...). При $k=0$ имеет место начальная точка колебаний.

Угловая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $T$ следующим образом:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

Тогда уравнение для вершин колебаний может быть переписано следующим образом:

$\omega t+\phi =k\cdot \pi \Rightarrow \frac{2\pi }{T}\cdot t+\phi =k\cdot \pi$

Теперь, если мы знаем период колебаний $T$, мы можем найти момент времени, в который песчинка будет подскакивать снова. Зная период, мы можем найти угловую частоту $\omega$, а затем найти амплитуду $A$ из начального условия.

Таким образом, чтобы найти амплитуду $A$, нам необходимо определить период колебаний $T$. Если период колебаний известен, пожалуйста, укажите его для продолжения решения этой задачи.