Какова должна быть амплитуда (в мм) вертикальных гармонических колебаний площадки, чтобы песчинка начала подскакивать?

Yarost

28

Чтобы решить данную задачу, нам нужно разобраться в основах вертикальных гармонических колебаний.

Вертикальные гармонические колебания моделируются уравнением гармонического осциллятора:

\[y(t) = A \cdot \sin(\omega t + \varphi)\]

где:
- \(y(t)\) - вертикальное перемещение
- \(t\) - время
- \(A\) - амплитуда колебаний (то, что нам необходимо найти)
- \(\omega\) - угловая частота колебаний
- \(\varphi\) - начальная фаза колебаний

В данной задаче нам нужно найти амплитуду \(A\), чтобы песчинка начала подскакивать. Критерием подскакивания является достижение песчинкой вершин колебаний.

Вершины колебаний достигаются в моменты времени, когда синусоида обращается в ноль. То есть, когда \(\sin(\omega t + \varphi) = 0\). Зная это, мы можем написать следующее:

\(\omega t + \varphi = k \cdot \pi\)

где \(k\) - целое число (1, 2, 3, ...). При \(k = 0\) имеет место начальная точка колебаний.

Угловая частота \(\omega\) связана с периодом колебаний \(T\) следующим образом:

\(\omega = \frac{{2\pi}}{{T}}\)

Тогда уравнение для вершин колебаний может быть переписано следующим образом:

\(\omega t + \varphi = k \cdot \pi \Rightarrow \frac{{2\pi}}{{T}} \cdot t + \varphi = k \cdot \pi\)

Теперь, если мы знаем период колебаний \(T\), мы можем найти момент времени, в который песчинка будет подскакивать снова. Зная период, мы можем найти угловую частоту \(\omega\), а затем найти амплитуду \(A\) из начального условия.

Таким образом, чтобы найти амплитуду \(A\), нам необходимо определить период колебаний \(T\). Если период колебаний известен, пожалуйста, укажите его для продолжения решения этой задачи.