Какова должна быть длина полиэтиленовой пленки и фольги одинаковой ширины 20 мм, чтобы создать плоский цилиндрический

Siren

1

Хорошо, чтобы найти необходимую длину полиэтиленовой пленки и фольги для создания плоского цилиндрического конденсатора, нам необходимо использовать формулу для расчета емкости конденсатора:

\[C = \dfrac{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot A}{d}\]

где \(C\) - емкость конденсатора, \(\varepsilon_0\) - электрическая постоянная (приближенно равна \(8.85 \times 10^{-12}\, \text{Ф/м}\)), \(\varepsilon_r\) - относительная диэлектрическая проницаемость материала (для полиэтилена приближенно равна 2.2), \(A\) - площадь пластин конденсатора и \(d\) - расстояние между пластинами.

Поскольку в данной задаче мы знаем емкость (\(C = 3.5 \times 10^{-9}\,\text{Ф}\)), толщину полиэтиленовой пленки (\(d = 0.25\,\text{мм}\)), относительную диэлектрическую проницаемость (\(\varepsilon_r = 2.2\)), нам нужно найти площадь пластин (\(A\)). Поскольку полиэтиленовая пленка и фольга имеют одинаковую ширину 20 мм, то мы можем предположить, что площадь каждой пластины будет равна произведению ширины (\(w\)) на длину (\(L\)):

\[A = w \times L\]

Теперь нам нужно сделать несколько преобразований для нахождения длины (\(L\)).

Выразим \(A\) через \(w\) и \(L\):

\[A = 20\,\text{мм} \times L\]

Подставим это выражение в формулу для емкости конденсатора:

\[3.5 \times 10^{-9}\,\text{Ф} = \dfrac{8.85 \times 10^{-12}\,\text{Ф/м} \cdot 2.2 \cdot (20\,\text{мм} \times L)}{0.25\,\text{мм}}\]

После упрощения и преобразований, получим:

\[L = \dfrac{3.5 \times 10^{-9}\,\text{Ф} \cdot 0.25\,\text{мм}}{8.85 \times 10^{-12}\,\text{Ф/м} \cdot 2.2 \cdot 20\,\text{мм}}\]

Прежде чем продолжить с вычислениями, обратите внимание, что все размеры должны быть в одних и тех же единицах измерения. В данном случае, для простоты, преобразуем все значения в метры:

\[L = \dfrac{3.5 \times 10^{-9}\,\text{Ф} \cdot 0.25 \times 10^{-3}\,\text{м}}{8.85 \times 10^{-12}\,\text{Ф/м} \cdot 2.2 \cdot 20 \times 10^{-3}\,\text{м}}\]

Теперь можем продолжить с вычислениями:

\[L = \dfrac{3.5 \times 0.25}{8.85 \times 2.2 \times 20}\]

\[L \approx 2 \times 10^{-6}\,\text{м} \approx 2\,\text{мкм}\]

Таким образом, для создания плоского цилиндрического конденсатора с емкостью 3.5 нФ, длина полиэтиленовой пленки и фольги одинаковой ширины 20 мм должна составлять приблизительно 2 микрометра.