Какова должна быть скорость снаряда, чтобы достичь высоты воздушной цели, если его запускают с поверхности Земли

Zayac

23

Чтобы достичь заданной высоты воздушной цели, нам понадобится решить задачу кинематики, используя уравнение движения и известные данные.

У нас есть следующие данные:
Ускорение свободного падения \(g = 10 \, \text{м/с}^2\).
Мы предполагаем, что начальная скорость снаряда равна 0 м/с, поскольку он запущен с поверхности Земли без предварительного движения.

Предположим, что для достижения требуемой высоты нам потребуется время \(t\) секунд.
Используя уравнение для свободного падения, можем записать:
\[h = \frac{1}{2} g t^2\]
где \(h\) - заданная высота цели.

Мы хотим определить скорость, поэтому обратимся к уравнению скорости:
\[v = g t\]

Мы знаем, что требуемая скорость не менее 400 м/с.
Таким образом, имеем уравнение:
\[v \geq 400 \, \text{м/с}\]

Теперь можем решить эти уравнения:
Сначала, найдем время \(t\) из уравнения высоты:
\[h = \frac{1}{2} g t^2\]
Раскроем скобки:
\[h = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{м/с}^2 \cdot t^2\]
Теперь упростим:
\[h = 5 \, \text{м/с}^2 \cdot t^2\]
Перенесем все влево:
\[5 \, \text{м/с}^2 \cdot t^2 - h = 0\]

Из этого уравнения можно найти время \(t\) с помощью квадратного корня.

Теперь, найдем скорость \(v\) из уравнения скорости:
\[v = g \cdot t\]
Подставим известное ускорение и время:
\[v = 10 \, \text{м/с}^2 \cdot t\]

Теперь мы знаем, что скорость должна быть не менее 400 м/с:
\[v \geq 400 \, \text{м/с}\]

Таким образом, мы получаем уравнение:
\[10 \, \text{м/с}^2 \cdot t \geq 400 \, \text{м/с}\]

Теперь, когда мы получили уравнение, мы можем решить его, найдя значение \(t\) и подставив его в уравнение для скорости \(v = g \cdot t\).

Находим \(t\) из уравнения \(5 \, \text{м/с}^2 \cdot t^2 - h = 0\):
так как высота цели \(h\) не указана, предположим, что она равна 200 метрам.

Подставим значение \(h = 200\) в наше уравнение:
\[5 \, \text{м/с}^2 \cdot t^2 - 200 = 0\]
\[t^2 = \frac{200}{5} = 40\]
\[t = \sqrt{40} \approx 6.32 \, \text{с}\]

Теперь найдем скорость \(v\) из уравнения \(v = 10 \, \text{м/с}^2 \cdot t\):
\[v = 10 \, \text{м/с}^2 \cdot 6.32 \, \text{с} \approx 63.2 \, \text{м/с}\]

Таким образом, для достижения высоты воздушной цели, равной 200 метрам, снаряд должен иметь скорость не менее 63.2 м/с.