Какова энергия электрического поля между двумя концентрическими сферами, которые имеют поверхностные плотности зарядов

Солнце_В_Городе

54

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулу для энергии электрического поля между двумя концентрическими сферами. Формула имеет вид:

\[W = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{Q_1 Q_2}{r_2} - \frac{Q_1 Q_2}{r_1}\right)\]

где:
- \(W\) - энергия электрического поля между сферами,
- \(\epsilon_0\) - электрическая постоянная, равная \(8,85 \times 10^{-12}\, \text{Ф/м}\),
- \(Q_1\) и \(Q_2\) - заряды сфер 1 и 2 соответственно,
- \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы сфер 1 и 2 соответственно.

Чтобы продолжить решение задачи, необходимо найти заряды сфер, используя поверхностные плотности зарядов. Поверхностный заряд на сфере можно рассчитать как:

\[Q = \sigma \cdot A\]

где:
- \(Q\) - заряд сферы,
- \(\sigma\) - поверхностная плотность заряда,
- \(A\) - площадь поверхности сферы.

Для сферы радиусом \(r\), площадь поверхности \(A\) может быть найдена с помощью формулы:

\[A = 4\pi r^2\]

Итак, начнем с расчета зарядов сфер.

Заряд первой сферы (\(Q_1\)):
\(\sigma_1 = 3,0 \times 10^{-6}\, \text{Кл/м}^2\)
\(r_1 = 1,0\, \text{м}\)

Подставляем значения в формулу:

\[Q_1 = \sigma_1 \cdot A_1\]
\[A_1 = 4\pi \cdot r_1^2\]

Вычисляем площадь поверхности первой сферы:

\[A_1 = 4\pi \cdot (1,0)^2\]

\[A_1 = 4\pi\, \text{м}^2\]

Теперь находим заряд первой сферы:

\[Q_1 = \sigma_1 \cdot A_1\]

\[Q_1 = (3,0 \times 10^{-6}\, \text{Кл/м}^2) \cdot (4\pi\, \text{м}^2)\]

Вычисляем значение:

\[Q_1 = 12\pi \times 10^{-6}\, \text{Кл}\]

Теперь переходим к расчету заряда второй сферы (\(Q_2\)):
\(\sigma_2 = 9,0 \times 10^{-6}\, \text{Кл/м}^2\)
\(r_2 = r\)

Аналогично находим площадь поверхности второй сферы и заряд второй сферы:

\[A_2 = 4\pi \cdot r_2^2\]
\[Q_2 = \sigma_2 \cdot A_2\]

Теперь, когда мы знаем значения зарядов сфер (\(Q_1\) и \(Q_2\)), можем использовать эти значения в исходной формуле для энергии электрического поля между ними:

\[W = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{Q_1 Q_2}{r_2} - \frac{Q_1 Q_2}{r_1}\right)\]

Подставляем значения и решаем уравнение.