Какое доказательство можно предоставить для того, что время падения тела на землю вдвое больше времени подъема

Артемович

14

Конечно, давайте рассмотрим эту задачу подробно.

Для начала, давайте обозначим время, за которое тело падает на землю, как \(t_1\), а время, за которое оно поднимается вверх, как \(t_2\).

Возьмём движение тела вверх как положительное и возьмём начало отсчёта в момент броска тела.

Зная, что свободное падение тела подчиняется закону \(s = \frac{1}{2}gt^2\), где \(s\) - пройденное расстояние, \(g\) - ускорение свободного падения, а \(t\) - время, можем определить высоту максимального подъёма тела.

Высота максимального подъёма будет равна расстоянию, которое тело пройдёт за время подъёма и затем опустится за то же время. То есть, она будет равна сумме высоты подъёма и глубины падения.

\(h_{max} = s_{up} + s_{down}\)

Высота подъёма равна половине ускорения свободного падения, умноженной на время подъёма в квадрате.

\(s_{up} = \frac{1}{2} g t_2^2\)

Высота падения можно определить аналогичным образом, используя время падения.

\(s_{down} = \frac{1}{2} g t_1^2\)

Теперь давайте рассмотрим время, за которое тело пройдёт расстояние вверх и расстояние вниз.

Время подъёма равно просто \(t_2\), но время падения будет дважды больше времени подъёма, так как время подъёма и время падения - это одновременно движения вверх и вниз на одинаковые по величине расстояния.

\(t_1 = 2t_2\)

Теперь выразим высоту максимального подъёма через только время подъёма:

\(h_{max} = \frac{1}{2} g t_2^2 + \frac{1}{2} g (2t_2)^2\)

Упростив это выражение, получим:

\(h_{max} = \frac{5}{2} g t_2^2\)

Теперь давайте сравним это выражение с выражением, определяющим высоту максимального подъёма, когда тело падает прямо вниз с начальной скоростью, равной нулю.

В этом случае, высота максимального подъёма равна:

\(h_{max} = \frac{1}{2} g t_1^2\)

Заметим, что \(t_1\) в данном случае равно времени подъёма \(t_2\), так как тело движется симметрично вверх и вниз.

Выразим высоту максимального подъёма через время подъёма:

\(h_{max} = \frac{1}{2} g t_2^2\)

Теперь сравним это выражение с предыдущим выражением для высоты максимального подъёма:

\(\frac{5}{2} g t_2^2 \neq \frac{1}{2} g t_2^2\)

Мы видим, что высота максимального подъёма при вертикальном броске вверх в два раза больше высоты максимального подъёма при прямом падении вниз. Таким образом, можно доказать, что время падения тела на землю вдвое больше времени подъема на максимальную высоту, когда тело брошено с поверхности земли вертикально вверх.

Надеюсь, этот ответ будет понятен школьнику. Если у вас есть ещё вопросы, пожалуйста, спрашивайте.