Какова энтропия системы при извлечении двух шаров из урны, содержащей два белых и один черный шар?

Филипп_9424

62

Хорошо, чтобы определить энтропию системы при извлечении двух шаров из урны, содержащей два белых и один черный шар, давайте воспользуемся формулой для вычисления энтропии. Энтропия, обозначаемая как \(S\), вычисляется по следующей формуле:

\[S = -\sum_{i} P_i \log_2(P_i)\]

Где \(P_i\) - вероятность наступления события \(i\). В нашей задаче у нас есть три возможных события: извлечение двух белых шаров (событие A), извлечение одного белого и одного черного шара (событие B), и извлечение двух черных шаров (событие C).

Для начала, давайте вычислим вероятность каждого из этих событий:

Вероятность события A (извлечение двух белых шаров):
Так как изначально в урне два белых и один черный шар, вероятность первого извлечения белого шара равна \(P(W_1) = \frac{2}{3}\). После извлечения одного белого шара, в урне остается один белый и один черный шар. Таким образом, вероятность извлечения второго белого шара равна \(P(W_2|W_1) = \frac{1}{2}\). Чтобы получить общую вероятность события A, умножим эти вероятности: \(P(A) = P(W_1) \cdot P(W_2|W_1) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\).

Вероятность события B (извлечение одного белого и одного черного шара):
Так как изначально в урне два белых и один черный шар, вероятность первого извлечения белого шара равна \(P(W_1) = \frac{2}{3}\). После извлечения белого шара, в урне остается один белый и один черный шар. Таким образом, вероятность извлечения черного шара равна \(P(B|W_1) = \frac{1}{2}\). Из-за симметричности вероятности черного и белого шаров, такая же вероятность будет справедлива для извлечения черного шара сначала и белого шара после. Поэтому, чтобы учесть оба случая, умножим эти вероятности на 2: \(P(B) = P(W_1) \cdot P(B|W_1) \cdot 2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 = \frac{2}{3}\).

Вероятность события C (извлечение двух черных шаров):
Так как изначально в урне два белых и один черный шар, вероятность первого извлечения черного шара равна \(P(B_1) = \frac{1}{3}\). После извлечения первого черного шара, в урне остается два белых шара. Таким образом, вероятность извлечения второго черного шара равна \(P(B_2|B_1) = \frac{2}{2} = 1\). Чтобы получить общую вероятность события C, умножим эти вероятности: \(P(C) = P(B_1) \cdot P(B_2|B_1) = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}\).

Теперь, используя вероятности каждого из событий, мы можем вычислить энтропию системы:

\[S = -P(A) \log_2(P(A)) - P(B) \log_2(P(B)) - P(C) \log_2(P(C))\]

Подставляем значения вероятностей событий и производим вычисления:

\[S = -\frac{1}{3} \log_2(\frac{1}{3}) - \frac{2}{3} \log_2(\frac{2}{3}) - \frac{1}{3} \log_2(\frac{1}{3})\]

Для определения полученного значения, выполним вычисления.