Какова формула для вычисления объема усеченного конуса?

Магический_Трюк

64

Для вычисления объема усеченного конуса нам потребуется знать его радиусы оснований \(r_1\) и \(r_2\), а также высоту \(h\) усеченной части.

Обозначим объем усеченного конуса как \(V\).

Формула для вычисления объема усеченного конуса выглядит следующим образом:

\[V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 \cdot r_2)\]

Давайте подробнее разберем, как получается данная формула.

Представим себе, что мы усекаем верхнюю часть обычного конуса плоскостью параллельной основанию, и получаем усеченный конус. Затем, чтобы вычислить его объем, мы можем разрезать такой усеченный конус на бесконечно маленькие слои, каждый из которых будет похож на тонкий кольцообразный цилиндр.

Эти кольцообразные цилиндры будут иметь одинаковую высоту \(h\) и толщину \(dh\), но их радиусы будут меняться от \(r\) до \(r + dr\), где \(r\) - это радиус слоя, а \(dr\) - маленькое изменение радиуса.

Тогда, мы можем выразить объем одного такого кольцообразного цилиндра объемом \(dV\):

\[dV = \pi h (r^2 + r \cdot dr)\]

Проинтегрировав это выражение по всему радиусу от \(r_1\) до \(r_2\), мы получим объем усеченного конуса \(V\):

\[V = \int_{r_1}^{r_2} dV = \int_{r_1}^{r_2} \pi h (r^2 + r \cdot dr)\]

Выполнив интегрирование, получим:

\[V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 \cdot r_2)\]

Итак, вот искомая формула для вычисления объема усеченного конуса.