Какова индукция магнитного поля в центре проволочного кольца радиусом 5 см, если через него протекает ток силой

Карамель

30

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон Био-Савара-Лапласа и формулу для магнитного поля в центре проволочного кольца. Давайте разберемся с каждым шагом.

Шаг 1: Закон Био-Савара-Лапласа
Закон Био-Савара-Лапласа гласит, что магнитное поле \(dB\) в точке, находящейся на расстоянии \(r\) от прямолинейного провода с током силой \(I\), определяется следующей формулой:
\[dB = \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot dl \cdot \sin(\theta)}}{{4\pi \cdot r^2}}\]
где:
\(dB\) - элементарная величина магнитного поля,
\(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, Тл \cdot м/А\)),
\(I\) - сила тока,
\(dl\) - элементарная длина провода,
\(r\) - расстояние от провода до точки, где мы измеряем магнитное поле,
\(\theta\) - угол между вектором элементарной длины провода \(dl\) и вектором, направленным от провода до точки измерения.

Шаг 2: Магнитное поле в центре проволочного кольца
Теперь обратимся к задаче. У нас есть проволочное кольцо радиусом 5 см, по которому протекает ток силой 3 А. Мы хотим найти магнитное поле в его центре.

В центре кольца провод находится на равном расстоянии от любого элементарного кусочка провода на кольце. Поэтому угол \(\theta\) между элементарными кусочками провода и вектором, направленным от провода до центра кольца, будет одинаковым для всех элементов.

Шаг 3: Вычисление магнитного поля в центре кольца
Для вычисления магнитного поля в центре проволочного кольца с радиусом 5 см и током силой 3 А, мы должны проинтегрировать элементарные величины магнитного поля \(dB\) от 0 до 2\(\pi\) (полный оборот) вдоль всего кольца по формуле:

\[B = \int\limits_0^{2\pi}\frac{{\mu_0 \cdot I \cdot dl}}{{4\pi \cdot r^2}}\cdot \sin(\theta)\]

Однако, в данной задаче у нас проволочное кольцо, а не провод. Поэтому вместо интеграла, мы можем просто использовать значение для магнитного поля вокруг прямого провода \(B_{\text{провод}}\), умноженное на количество витков проволоки \(N\) в кольце:

\[B = B_{\text{провод}} \cdot N\]

Шаг 4: Вычисление \(B_{\text{провод}}\)
Для одиночного провода с током магнитное поле в точке, находящейся на расстоянии \(r\) от провода, можно найти следующей формулой:

\[B_{\text{провод}} = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{2 \cdot r}}\]

Шаг 5: Подстановка значений и расчет
Теперь подставим известные значения в формулу и выполним необходимые расчеты.

Радиус кольца, \(r = 5 \, см = 0.05 \, м\)
Сила тока, \(I = 3 \, А\)
Магнитное поле вокруг прямого провода, \(B_{\text{провод}} = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{2 \cdot r}}\)

\[B_{\text{провод}} = \frac{{4\pi \times 10^{-7} \, Тл \cdot м/А \cdot 3 \, А}}{{2 \cdot 0.05 \, м}}\]

\[B_{\text{провод}} = 0.6 \pi \times 10^{-5} \, Тл\]

Так как у нас прямоугольное проволочное кольцо, которое состоит из N витков проволоки, можем использовать формулу \(B = B_{\text{провод}} \cdot N\).

\[B = 0.6 \pi \times 10^{-5} \, Тл \cdot N\]

Шаг 6: Вычисление окончательного значения
Мы знаем, что у нас есть проволочное кольцо радиусом 5 см, но нам неизвестно, сколько витков проволоки в нем. Поэтому давайте выразим N из условия задачи \(B = 37.7 \, мкТл\) и подставим значения:

\[37.7 \times 10^{-6} = 0.6 \pi \times 10^{-5} \, Тл \cdot N\]

\[N = \frac{{37.7 \times 10^{-6}}}{{0.6 \pi \times 10^{-5}}}\]

\[N \approx 19\]

Таким образом, магнитное поле в центре проволочного кольца радиусом 5 см, через которое протекает ток силой 3 А, составляет примерно 37.7 мкТл.