Какова индукция магнитного поля (в Теслах), если электрон ускорен разностью потенциалов в 8 кВ, влетает в однородное

Matvey_8792

4

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать законы электродинамики для вычисления индукции магнитного поля в точке, где движется электрон.

Индукция магнитного поля вблизи электрона, движущегося с определенной скоростью, определяется законом Био-Савара-Лапласа. Этот закон говорит, что магнитное поле \( B \) в точке, находящейся на расстоянии \( R \) от электрона, пропорционально его скорости \( v \) и обратно пропорционально расстоянию от электрона. Формула для магнитного поля, создаваемого электроном, выглядит следующим образом:

\[ B = \frac{{\mu_0 \cdot v}}{{2 \cdot \pi \cdot R}} \]

где \( \mu_0 \) - магнитная постоянная (\(4\pi \times 10^{-7} \, Тл \cdot м/А\)), \( v \) - скорость электрона, \( R \) - расстояние от электрона до точки, где мы хотим посчитать магнитное поле.

Для решения задачи, нам необходимо разложить скорость электрона по составляющим. Так как электрон движется под углом \( 60° \) к направлению магнитного поля, можно разложить скорость на горизонтальную \( v_x \) и вертикальную \( v_y \) составляющие. При этом \( v_x = v \cdot \cos(60°) \) и \( v_y = v \cdot \sin(60°) \).

Зная начальную разность потенциалов \( U \), можем найти кинетическую энергию электрона \( K = e \cdot U \), где \( e \) - абсолютная величина заряда электрона (\(1.6 \times 10^{-19} \, Кл\)). Далее, используя второй закон Ньютона для движения заряда в магнитном поле, можно вывести соотношение между радиусом спирали и магнитным полем:

\[ R = \frac{{m \cdot v}}{{e \cdot B}} \]

где \( m \) - масса электрона (\(9.11 \times 10^{-31} \, кг\)).

Таким образом, мы можем найти радиус спирали для движения электрона по винтовой линии с заданной скоростью и углом входа в магнитное поле.

Используя полученные формулы, приступим к расчетам:

1. Начнем с расчета скорости электрона.
Подставим данные в формулу \( v_x = v \cdot \cos(60°) \):
\[ v_x = v \cdot \cos(60°) \]
\[ v_x = \frac{{e \cdot U}}{{m}} \cdot \cos(60°) \]
\[ v_x = \frac{{1.6 \times 10^{-19} \, Кл \cdot 8 \times 10^3 \, В}}{{9.11 \times 10^{-31} \, кг}} \cdot \cos(60°) \]
\[ v_x = 1.4 \times 10^7 \, м/с \]

Подставим данные в формулу \( v_y = v \cdot \sin(60°) \):
\[ v_y = v \cdot \sin(60°) \]
\[ v_y = \frac{{e \cdot U}}{{m}} \cdot \sin(60°) \]
\[ v_y = \frac{{1.6 \times 10^{-19} \, Кл \cdot 8 \times 10^3 \, В}}{{9.11 \times 10^{-31} \, кг}} \cdot \sin(60°) \]
\[ v_y = 9.8 \times 10^6 \, м/с \]

2. Рассчитаем радиус спирали, используя формулу \( R = \frac{{m \cdot v}}{{e \cdot B}} \).
Подставим полученные значения скорости \( v_x \) и \( v_y \) в формулу:
\[ R = \frac{{m \cdot v_x}}{{e \cdot B}} \]
\[ R = \frac{{9.11 \times 10^{-31} \, кг \cdot 1.4 \times 10^7 \, м/с}}{{1.6 \times 10^{-19} \, Кл \cdot B}} \]

Теперь нам необходимо найти значение магнитного поля \( B \), чтобы рассчитать радиус спирали.

3. Последний шаг - нахождение индукции магнитного поля \( B \).
В данной задаче сказано, что магнитное поле однородно. Поэтому рассчитаем его, используя формулу для однородного магнитного поля:
\[ B = \frac{{F}}{{q \cdot v \cdot \sin(\theta)}} \]
где \( F \) - сила, действующая на электрон в магнитном поле, \( q \) - заряд электрона, \( v \) - его скорость, а \( \theta \) - угол между направлением скорости и направлением магнитного поля.

Для нахождения силы, действующей на электрон, воспользуемся вторым законом Ньютона для движения заряда в магнитном поле:
\[ F = q \cdot v \cdot B \cdot \sin(\theta) \]

Подставим известные значения в формулу:
\[ 8 \times 10^3 \, В = (1.6 \times 10^{-19} \, Кл) \cdot v \cdot B \cdot \sin(60°) \]
\[ B = \frac{{8 \times 10^3 \, В}}{{(1.6 \times 10^{-19} \, Кл) \cdot v \cdot \sin(60°)}} \]

Заметим, что угол между направлением скорости и направлением магнитного поля составляет 90°, поэтому \( \sin(60°) = 1/2 \).

Подставим значения скорости \( v \):
\[ B = \frac{{8 \times 10^3 \, В}}{{(1.6 \times 10^{-19} \, Кл) \cdot 9.8 \times 10^6 \, м/с \cdot 1/2}} \]

Теперь мы можем рассчитать индукцию магнитного поля \( B \):
\[ B = 0.5 \, Тл \]

Ответ: Индукция магнитного поля равна 0.5 Тл.