Какова индуктивность цилиндрической катушки с сердечником, если у нее медная обмотка с сопротивлением R

Глеб

8

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для индуктивности катушки с сердечником:

\[L = \frac{{\mu \cdot N^2 \cdot A}}{{l}}\]

где L - индуктивность, \(\mu\) - магнитная проницаемость, N - число витков обмотки, A - площадь поперечного сечения сердечника, l - длина сердечника.

Нам необходимо найти индуктивность катушки, поэтому давайте найдем площадь поперечного сечения сердечника с помощью формулы:

\[A = \pi \cdot r^2\]

где A - площадь поперечного сечения, \(\pi\) - число пи, r - радиус сердечника.

Диаметр провода d равен 0,5 мм, а значит, радиус r равен половине диаметра провода:

\[r = \frac{{d}}{{2}} = \frac{{0,5 \, \text{мм}}}{{2}} = 0,25 \, \text{мм} = 0,00025 \, \text{м}\]

Теперь, когда у нас есть радиус сердечника, мы можем вычислить площадь поперечного сечения:

\[A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0,00025 \, \text{м})^2\]

Число \(\pi\) принимается равным 3,14:

\[A = 3,14 \cdot (0,00025 \, \text{м})^2\]

Теперь, когда мы знаем площадь поперечного сечения сердечника, давайте вычислим индуктивность:

\[L = \frac{{\mu \cdot N^2 \cdot A}}{{l}}\]

У нас есть данные о сопротивлении обмотки R, которое можно использовать для расчета числа витков обмотки N:

\[R = \frac{{\rho \cdot l}}{{A}}\]

где R - сопротивление обмотки, \(\rho\) - удельное сопротивление материала (для меди \(\rho = 1,72 \times 10^{-8} \, \text{Ом} \cdot \text{м}\)), l - длина провода.

Мы знаем сопротивление R равно 1,2 Ом и длину сердечника l равную 200 мм (0,2 м), поэтому мы можем найти число витков обмотки N:

\[1,2 \, \text{Ом} = \frac{{1,72 \times 10^{-8} \, \text{Ом} \cdot \text{м} \cdot 0,2 \, \text{м}}}{A}\]

Теперь мы можем использовать известную площадь поперечного сечения A, чтобы найти число витков обмотки N.

Подставим значения:

\[1,2 = \frac{{1,72 \times 10^{-8} \cdot 0,2}}{{3,14 \cdot (0,00025)^2 \cdot N}}\]

Раскроем скобки и избавимся от дроби:

\[1,2 = \frac{{1,72 \times 10^{-8} \cdot 0,2}}{{3,14 \cdot 0,0000625 \cdot N}}\]

Упростим:

\[1,2 \cdot 3,14 \cdot 0,0000625 \cdot N = 1,72 \times 10^{-8} \cdot 0,2\]

\[0,0000243 \cdot N = 3,44 \times 10^{-9}\]

Избавимся от дроби:

\[N = \frac{{3,44 \times 10^{-9}}}{{0,0000243}}\]

\[N = 141,6\]

Округлим до ближайшего целого:

\[N = 142\]

Теперь у нас есть все данные, чтобы найти индуктивность:

\[L = \frac{{\mu \cdot N^2 \cdot A}}{{l}}\]

Подставим значения:

\[L = \frac{{300 \cdot (142)^2 \cdot (3,14 \cdot 0,0000625)}}{{0,2}}\]

Вычислим:

\[L \approx 1,074 \, \text{Гн}\]

Таким образом, индуктивность цилиндрической катушки с сердечником составляет около 1,074 Гн (генри).