Какова линейная скорость бабочки через 9 секунд после начала вращения, если она находится на расстоянии 0.77

Самбука

33

Для решения данной задачи нам необходимо использовать соотношение между угловой скоростью \(\omega\) и линейной скоростью \(v\) при движении точки по окружности.

Угловая скорость \(\omega\) выражается через угловое ускорение \(\alpha\) следующей формулой:
\(\omega = \int \alpha \, dt\).

Из задачи дано, что закон изменения углового ускорения от времени задан формулой \(E = Ct\), где \(C = 2 \, \text{рад/с}^3\) - постоянная. Тогда угловое ускорение \(\alpha\) можно найти, проведя первообразную:
\(\alpha = \int E \, dt = \int Ct \, dt\).

Вычислим первообразную от \(Ct\):
\(\int Ct \, dt = C \int t \, dt = \frac{C}{2} t^2 + A\).

Теперь найдем постоянную интегрирования \(A\) с помощью начального условия. Поскольку изначально \(t = 0\) и \(\alpha = 0\), получаем:
\(\alpha_0 = \frac{C}{2} t_0^2 + A\),
где \(t_0 = 0\) - начальный момент времени, \(\alpha_0 = 0\) - начальное угловое ускорение.

Подставим начальные значения в уравнение и найдем \(A\):
\(0 = \frac{C}{2} \cdot 0^2 + A\),
\(A = 0\).

Таким образом, угловое ускорение \(\alpha\) равно:
\(\alpha = \frac{C}{2} t^2\).

Теперь можем выразить угловую скорость \(\omega\) через угловое ускорение \(\alpha\):
\(\omega = \int \alpha \, dt\).

Вычислим первообразную от \(\alpha\):
\(\omega = \int \frac{C}{2} t^2 \, dt = \frac{C}{6} t^3 + B\).

Аналогично найдем постоянную интегрирования \(B\) с помощью начального условия, где \(t_0 = 0\), \(\omega_0 = 0\):
\(\omega_0 = \frac{C}{6} t_0^3 + B\),
\(0 = \frac{C}{6} \cdot 0^3 + B\),
\(B = 0\).

Таким образом, угловая скорость \(\omega\) равна:
\(\omega = \frac{C}{6} t^3\).

Осталось выразить линейную скорость через угловую скорость и радиус окружности. Линейная скорость \(v\) связана с угловой скоростью \(\omega\) следующим образом:
\(v = R \cdot \omega\),
где \(R\) - радиус окружности.

Из задачи дано, что бабочка находится на расстоянии \(0.77\) м от центра вращения. Это значит, что радиус окружности \(R = 0.77\) м.

Подставим значение радиуса и угловой скорости в формулу для линейной скорости и найдем ответ:
\(v = 0.77 \cdot \frac{C}{6} t^3\).

Теперь, когда у нас имеется зависимость линейной скорости от времени, мы можем найти значение линейной скорости через 9 секунд после начала вращения, подставив \(t = 9\) в найденное выражение:
\(v = 0.77 \cdot \frac{C}{6} \cdot 9^3\).

Вычислим значение выражения:
\(v = 0.77 \cdot \frac{2}{6} \cdot 9^3 \approx 48.61\) м/с.

Таким образом, линейная скорость бабочки через 9 секунд после начала вращения составляет примерно 48.61 м/с.