Во сколько раз увеличилось линейное центростремительное ускорение тела, если радиус окружности, по которой

Зимний_Вечер

13

Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся уравнением для линейного центростремительного ускорения \(a_c = \frac{v^2}{r}\), где \(a_c\) - линейное центростремительное ускорение, \(v\) - скорость тела и \(r\) - радиус окружности, по которой оно движется.

Дано, что радиус окружности увеличили в 2 раза. Обозначим исходный радиус как \(r_1\) и новый радиус как \(r_2\). Тогда \(r_2 = 2r_1\).

Для того, чтобы найти, во сколько раз увеличилось линейное центростремительное ускорение, возьмем отношение \( \frac{a_{c2}}{a_{c1}}\).

Ускорение \(a_{c1}\) соответствует исходной скорости \(v_1\) и радиусу \(r_1\). Таким образом, \(a_{c1} = \frac{v_1^2}{r_1}\).

Ускорение \(a_{c2}\) соответствует новой скорости \(v_2\) и радиусу \(r_2\). Таким образом, \(a_{c2} = \frac{v_2^2}{r_2}\).

Для того, чтобы найти отношение, воспользуемся найденными уравнениями:

\[
\frac{a_{c2}}{a_{c1}} = \frac{\frac{v_2^2}{r_2}}{\frac{v_1^2}{r_1}}
\]

Так как \(r_2 = 2r_1\), мы можем подставить это в уравнение:

\[
\frac{a_{c2}}{a_{c1}} = \frac{\frac{v_2^2}{2r_1}}{\frac{v_1^2}{r_1}} = \frac{v_2^2}{2v_1^2}
\]

Теперь нам нужно найти, во сколько раз увеличилась скорость тела. Для этого найдем отношение \( \frac{v_2}{v_1} \).

Мы можем использовать уравнение для линейного центростремительного ускорения еще раз:

\(a_c = \frac{v^2}{r}\)

\(\frac{v^2}{r} = a_c\)

\(v^2 = a_c \cdot r\)

Так как \(r_2 = 2r_1\), то мы можем заменить \(r\) в уравнении:

\(v_2^2 = a_c \cdot 2r_1\)

\(v_2^2 = 2a_c \cdot r_1\)

Теперь мы можем найти отношение:

\[
\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{v_2^2}{v_1^2}} = \sqrt{\frac{2a_c \cdot r_1}{v_1^2}} = \sqrt{\frac{2a_c}{v_1^2} \cdot r_1}
\]

Итак, чтобы ответить на задачу:
1. Линейное центростремительное ускорение увеличилось в \( \frac{v_2^2}{2v_1^2} \) раз.
2. Скорость тела увеличилась в \( \sqrt{\frac{2a_c}{v_1^2} \cdot r_1} \) раз.

Теперь, если у нас есть значения исходной скорости \(v_1\) и линейного центростремительного ускорения \(a_c\), мы можем подставить их в уравнения и получить окончательный ответ.