Какова максимальная энергия магнитного поля катушки индуктивности в колебательном контуре с конденсатором и амплитудой

Cherepashka_Nindzya

70

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для энергии магнитного поля индуктивности:

$$E=\frac{1}{2}L{I}^2$$

где $E$ - энергия магнитного поля, $L$ - индуктивность катушки и $I$ - сила тока, протекающего через катушку.

В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, энергия магнитного поля катушки напрямую связана с электрической энергией конденсатора.

Электрическая энергия конденсатора может быть рассчитана с использованием формулы:

$$E=\frac{1}{2}C{V}^2$$

где $C$ - емкость конденсатора и $V$ - напряжение на конденсаторе.

Поскольку в задаче дано значение амплитуды напряжения ($1000$ В), необходимо учесть, что амплитудное значение напряжения на конденсаторе равно амплитуде напряжения на входе колебательного контура, то есть $V=1000$ В.

Таким образом, мы можем рассчитать электрическую энергию конденсатора:

$$E=\frac{1}{2}\times C\times {1000}^2$$

Теперь, зная, что электрическая энергия конденсатора равна энергии магнитного поля катушки, можно записать:

$$\frac{1}{2}\times C\times {1000}^2=\frac{1}{2}\times L\times I^2$$

Наша задача - найти максимальную энергию магнитного поля катушки, поэтому нам нужно найти максимальное значение тока ($I$) в контуре.

Известно, что в колебательном контуре амплитудное значение тока ($I$) связано с амплитудой напряжения ($V$) и импедансом контура ($Z$) следующим образом:

$$I=\frac{V}{Z}$$

где импеданс контура определяется как:

$$Z=\sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C}{)}^2}$$

где $R$ - сопротивление контура, $\omega$ - угловая частота колебаний контура, $L$ - индуктивность катушки и $C$ - емкость конденсатора.

В данной задаче не указано значение сопротивления ($R$), поэтому мы рассмотрим случай идеального контура без сопротивления, то есть $R=0$.

Теперь мы можем найти максимальное значение тока в контуре:

$$I=\frac{V}{Z}=\frac{1000}{\sqrt{(\omega L-\frac{1}{\omega C}{)}^2}}$$

Чтобы найти максимальное значение тока, нам нужно найти значение $\omega L-\frac{1}{\omega C}$, которое минимально.

Найдем это значение, взяв производную и приравняв ее к нулю:

$$\frac{d}{d\omega }(\omega L-\frac{1}{\omega C})=0$$

$$\Rightarrow L-\frac{1}{{\omega }^{2}C}=0$$

$$\Rightarrow {\omega }^2=\frac{1}{LC}$$

$$\Rightarrow \omega =\sqrt{\frac{1}{LC}}$$

Подставим это значение обратно в выражение для максимального тока:

$$I_{max}=\frac{V}{\sqrt{(\sqrt{\frac{1}{LC}}\cdot L-\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{LC}}\cdot C}{)}^2}}$$

$$I_{max}=\frac{V}{\frac{1}{C}\cdot \sqrt{\frac{1}{LC}-LC}}$$

Теперь мы можем выразить максимальную энергию магнитного поля катушки:

$$E_{max}=\frac{1}{2}\times L\times I_{max}^2$$

$$E_{max}=\frac{1}{2}\times L\times (\frac{V}{\frac{1}{C}\cdot \sqrt{\frac{1}{LC}-LC}}{)}^2$$

Таким образом, мы получили выражение для максимальной энергии магнитного поля катушки индуктивности в колебательном контуре с данным значением амплитуды напряжения и емкостью конденсатора. Необходимо заметить, что для окончательного решения задачи необходимо знать конкретные значения емкости конденсатора и индуктивности катушки. Пожалуйста, укажите эти значения, чтобы я мог выполнить окончательные вычисления.