Какова максимальная полезная мощность двигателя автомобиля массой 2 т, который движется по прямой из состояния покоя
Какова максимальная полезная мощность двигателя автомобиля массой 2 т, который движется по прямой из состояния покоя, разгоняется в течение 20 секунд, а затем тормозит до остановки? При этом скорость автомобиля меняется по функции υ(t)=0,125(20t-t^2) м/с. Трение качения и сопротивление воздуха не учитывать.
Pugayuschiy_Pirat_542 13
Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для мощности \(P\), которая равна произведению силы \(F\) и скорости \(v\). Поскольку в задаче говорится, что двигатель разгоняет автомобиль из состояния покоя, мы сначала найдем силу, необходимую для этого разгона. Затем мы найдем максимальную мощность двигателя, используя данную формулу.Шаг 1: Находим силу, необходимую для разгона автомобиля.
Сила \(F\) может быть найдена по закону Ньютона: \(F = ma\), где \(m\) - масса автомобиля, а \(a\) - ускорение. В нашем случае, уравнение для скорости автомобиля дано как \(\nu(t) = 0,125(20t - t^2)\) м/сек.
Ускорение \(a\) - это производная скорости по времени: \(a = \frac{{d\nu}}{{dt}}\).
Производная \(a\) может быть найдена из уравнения для скорости. После вычислений мы получаем:
\[a(t) = 0,125(20 - 2t)\] м/сек\(^2\).
Мы знаем, что ускорение \(a\) равно отношению силы \(F\) к массе \(m\), поэтому мы можем записать уравнение:
\[0,125(20 - 2t) = \frac{F}{m}\].
Подставим значение массы автомобиля \(m = 2\) тонны (\(m = 2000\) кг):
\[0,125(20 - 2t) = \frac{F}{2000}\].
Теперь решим это уравнение относительно силы \(F\):
\[F = 250(20 - 2t)\].
Шаг 2: Находим максимальную полезную мощность двигателя.
Мощность \(P\) равна произведению силы \(F\) и скорости \(v\): \(P = F \cdot v\). В нашем случае, скорость автомобиля задана как функция времени \(\nu(t)\).
Мы знаем, что мощность будет максимальной при максимальной скорости. Чтобы найти максимальную мощность, мы должны найти максимальную скорость и затем подставить ее в формулу мощности.
Для нахождения максимальной скорости, мы должны найти критические точки функции скорости \(\nu(t)\). Для этого нужно найти производную от \(\nu(t)\) и приравнять ее к нулю:
\[\frac{{d\nu}}{{dt}} = 0,125(20 - 2t)" = 0\].
Выполнив вычисления, получим:
\[20 - 2t = 0\].
Отсюда находим \(t\):
\[t = 10\] с.
Теперь мы можем найти максимальную скорость, подставив \(t = 10\) с в уравнение для скорости:
\[\nu(10) = 0,125(20 \cdot 10 - 10^2) = 1,25 \, \text{м/с}\].
И, наконец, мы можем найти максимальную полезную мощность, подставив найденные значения силы и скорости в формулу мощности:
\[P = F \cdot v = 250(20 - 2(10)) \cdot 1,25 = 250(20 - 20) \cdot 1,25 = 0 \, \text{Вт}\].
Таким образом, максимальная полезная мощность двигателя автомобиля в данной ситуации равна 0 Вт. Это происходит потому, что движение автомобиля не требует никакой полезной работы от двигателя при данной функции скорости.