Какова максимальная скорость движения и энергия маятника при амплитуде колебаний груза массой 0,5 кг на пружине

Lesnoy_Duh

68

Для того чтобы найти максимальную скорость движения и энергию маятника, мы должны использовать энергетически метод решения.

Первым шагом в решении задачи будет нахождение максимальной скорости движения груза на пружине. Максимальная скорость достигается в момент прохождения грузом положения равновесия. Мы знаем, что при максимальной амплитуде колебаний груз достигает положения равновесия, когда пружина нерастянута. В этом положении, поместим начало координат в точку равновесия и обозначим ее как \(x = 0\).

От начала координат до положения равновесия груза расстояние равно амплитуде колебаний \(A\). При положении груза в \(x = -A\) (максимальное отклонение), пружина будет максимально растянута. Так как пружина представляет собой линейно упругую среду, действующая на груз сила восстановления будет пропорциональна смещению груза от положения равновесия.

Теперь, применим закон Гука: \(F = - kx\), где \(F\) - сила, восстанавливающая равновесие, \(k\) - коэффициент жесткости пружины, а \(x\) - смещение от положения равновесия.

Используя указанные значения для \(k\) и \(x\), подставим их в формулу и найдем силу восстановления:
\[F = - (50 \, \text{Н/см}) \cdot (-0,05 \, \text{м}) = 2,5 \, \text{Н}\]

Теперь, чтобы найти максимальную скорость груза, используем закон сохранения энергии. Энергия маятника будет равна сумме его потенциальной энергии (уравнение пружинного маятника) и его кинетической энергии в момент прохождения положения равновесия:
\[E_{\text{п}} + E_{\text{к}} = \text{const}\]

Потенциальная энергия пружинного маятника определяется по формуле:
\[E_{\text{п}} = \frac{1}{2} kx^2\]

Известно, что при прохождении положения равновесия, вся потенциальная энергия переходит в кинетическую, следовательно:
\[E_{\text{п}} = \frac{1}{2} k A^2\]

Кинетическая энергия груза в момент прохождения положения равновесия равна:
\[E_{\text{к}} = \frac{1}{2} m v^2\]

где \(m\) - масса груза, а \(v\) - его скорость.

Закон сохранения энергии позволяет нам записать следующее уравнение:
\[\frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} m v^2\]

Теперь, подставим известные значения:
\[\frac{1}{2} (50 \, \text{Н/см}) (0,05 \, \text{м})^2 = \frac{1}{2} (0,5 \, \text{кг}) v^2\]

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
\[\frac{125 \, \text{Нм}}{\text{м}} = 0,25 \, \text{кг} \cdot v^2\]
\[v^2 = \frac{500 \, \text{Нм}}{\text{кг}}\]
\[v = \sqrt{\frac{500 \, \text{Нм}}{\text{кг}}} \approx 10 \, \text{м/с}\]

Таким образом, максимальная скорость движения груза на пружине составляет около 10 м/с.

Чтобы найти энергию маятника в этот момент, мы можем использовать формулу для кинетической энергии:
\[E_{\text{к}} = \frac{1}{2} m v^2\]

Подставив значения, получим:
\[E_{\text{к}} = \frac{1}{2} (0,5 \, \text{кг}) (10 \, \text{м/с})^2\]
\[E_{\text{к}} = \frac{1}{2} (0,5 \, \text{кг}) (100 \, \text{м}^2/\text{с}^2)\]
\[E_{\text{к}} = 25 \, \text{Дж}\]

Таким образом, энергия маятника при максимальной скорости составляет 25 Дж.