Какова максимальная скорость движения точки при ее прямолинейном движении, если уравнение зависимости пути от времени

Алина_9881

46

Конечно! Для решения данной задачи нам необходимо найти максимальную скорость движения точки. Для этого мы должны найти производную от уравнения пути \( s \) по времени \( t \). Выглядит это так:

\[ \frac{{ds}}{{dt}} = \dot{s} = -3t^2 + 12t + 24 \]

Производная показывает скорость изменения \( s \) по отношению к \( t \). Теперь нам нужно найти значения \( t \), при которых производная равна нулю. Это моменты времени, когда скорость достигает своего максимума. Для этого мы решим уравнение:

\[ -3t^2 + 12t + 24 = 0 \]

Можно заметить, что это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного корня:

\[ t = \frac{{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}}{{2a}} \]

Применяя эту формулу к нашему уравнению, получим:

\[ t = \frac{{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4(-3)(24)}}}{{2(-3)}} \]

После решения этого уравнения получим два значения времени \( t \), а именно \( t_1 = 1 \) и \( t_2 = 8 \). Теперь, чтобы найти максимальную скорость, мы должны найти вторую производную \( \ddot{s} \), которая показывает ускорение. Выражение для второй производной выглядит следующим образом:

\[ \frac{{d^2s}}{{dt^2}} = \ddot{s} = -6t + 12 \]

Теперь найдем значение \( \ddot{s} \) для каждого из найденных значений времени:

\[ \ddot{s_1} = -6(1) + 12 = 6 \]
\[ \ddot{s_2} = -6(8) + 12 = -36 \]

Знак второй производной определяет, является ли точка максимумом или минимумом. Поскольку \( \ddot{s_1} > 0 \), при \( t_1 = 1 \) имеем минимум, а при \( t_2 = 8 \), \( \ddot{s_2} < 0 \), значит, имеем максимум.

Таким образом, максимальная скорость точки при ее прямолинейном движении равна модулю значения производной в момент времени \( t_2 \):

\[ |\dot{s_2}| = |-3(8)^2 + 12(8) + 24| = 156 \]

Таким образом, максимальная скорость точки равна 156.
Важно отметить, что единицы измерения скорости зависят от единиц измерения времени и пути в данной задаче.