Какова максимальная величина тока Im в контуре после закрытия ключа K, если в колебательном контуре имеется

Lyalya

36

Дано:
Ёмкость конденсатора, \(C = 15 \, \mu \text{Ф}\)
Индуктивность катушки, \(L = 50 \, \text{мГн}\)
Максимальный заряд конденсатора, \(q_m = 1 \, \text{мКл}\)

Мы можем использовать формулу для периода колебаний в колебательном контуре, используя известные значения ёмкости и индуктивности:

\[T = 2\pi\sqrt{LC}\]

Для первого значения тока, в момент закрытия ключа \(K\), конденсатор полностью незаряжен, а следовательно, заряд равен нулю. Поскольку заряд и ток связаны следующим соотношением: \(I = \frac{dq}{dt}\), то \(I = 0\) при \(t = 0\).

Производная заряда по времени равна току в контуре. Мы можем использовать первый закон Кирхгофа (закон Кирхгофа об узле) для записи уравнения:

\[V_L + V_C = 0\]

Где \(V_L\) - напряжение на катушке индуктивности, \(V_C\) - напряжение на конденсаторе.

Напряжение на конденсаторе можно выразить, используя следующее соотношение:

\[V_C = \frac{q}{C}\]

Напряжение на катушке индуктивности можно выразить, используя формулу \(V_L = L \frac{di}{dt}\), где \(i\) - ток в контуре.

Таким образом, уравнение принимает вид:

\[L \frac{di}{dt} + \frac{q}{C} = 0\]

Известно, что максимальный заряд конденсатора равен \(q_m = 1 \, \text{мКл}\). Заряд в контуре изменяется по синусоидальному закону и может быть представлен как \(q(t) = q_m \sin(\omega t)\), где \(\omega = \frac{2\pi}{T}\).

Мы можем продифференцировать это выражение дважды, чтобы получить производную тока по времени:

\[i(t) = \frac{dq}{dt} = q_m \omega \cos(\omega t)\]
\[\frac{di}{dt} = -q_m \omega^2 \sin(\omega t)\]

Теперь мы можем подставить это значение в уравнение и решить его:

\[L \left(-q_m \omega^2 \sin(\omega t)\right) + \frac{q}{C} = 0\]

\[L \omega^2 \sin(\omega t) = \frac{q}{C}\]

\[L \omega^2 q_m \sin(\omega t) = \frac{q}{C}\]

Теперь мы можем использовать связь между зарядом и током, \(i = \frac{dq}{dt}\), чтобы выразить ток в контуре:

\[L \omega^2 q_m \sin(\omega t) = \frac{dq}{dt}\]

\[L \omega^2 q_m = \frac{di}{dt}\]

\[i(t) = L \omega^2 q_m t + i_0\]

У нас есть начальное условие, что \(i(0) = 0\). Подставляя это значение, мы можем определить постоянную интегрирования \(i_0 = 0\).

Таким образом, окончательное выражение для тока в контуре будет иметь вид:

\[i(t) = L \omega^2 q_m t\]

Чтобы найти максимальное значение тока, мы можем рассмотреть максимальное значение заряда \(q = q_m\) и выразить его через \(i_m\):

\[i_m = L \omega^2 q_m t_m\]

Максимальное значение тока достигается при максимальном заряде, и максимальный заряд \(q_m\) равен емкости \(C\) умноженной на максимальное напряжение на конденсаторе \(V_m\) (которое достигается при \(t = t_m/4\)), а значения для \(q_m\) и \(V_m\) связаны с помощью формулы \(q_m = C V_m\). Следовательно, \(i_m\) можно записать следующим образом:

\[i_m = L \omega^2 C V_m t_m\]

Теперь нам нужно найти максимальное значение напряжения на конденсаторе \(V_m\). Напряжение на конденсаторе можно выразить, используя следующую формулу:

\[V_C = V_m \sin(\omega t)\]

Максимальное значение напряжения на конденсаторе достигается при \(t = t_m/4\), когда функция синуса достигает своего максимума 1. Следовательно, \(V_m\) можно записать следующим образом:

\[V_m = V_C(t = t_m/4)\]

\[V_m = \frac{q_m}{C} \sin\left(\frac{\omega t_m}{4}\right)\]

Теперь мы можем подставить это значение в выражение для \(i_m\):

\[i_m = L \omega^2 C \frac{q_m}{C} \sin\left(\frac{\omega t_m}{4}\right) t_m\]

\[i_m = L \omega^2 q_m \sin\left(\frac{\omega t_m}{4}\right) t_m\]

Теперь подставляем известные значения, округляя ответ до двух значащих цифр:

\[i_m = (50 \times 10^{-3} \, \text{Гн}) \left(2\pi \frac{1}{\sqrt{(50 \times 10^{-3} \, \text{Гн})(15 \times 10^{-6} \, \text{Ф})}}\right)^2 (1 \times 10^{-3} \, \text{Ф}) \sin\left(2\pi \frac{1}{\sqrt{(50 \times 10^{-3} \, \text{Гн})(15 \times 10^{-6} \, \text{Ф})}} \frac{t_m}{4}\right) t_m\]

Теперь мы можем рассчитать максимальное значение тока \(i_m\) после всей подстановки численных значений.