Какова масса груза, горизонтально закрепленного на пружине с жесткостью 400 Н/м, если он совершает гармонические

Semen

43

Задача про груз, закрепленный на пружине, является классической задачей о гармонических колебаниях. Давайте начнем с расчета массы груза.

Дано:
Жесткость пружины (k) = 400 Н/м
Период колебаний (T) = 0.3 с
Амплитуда (A) = 20 см = 0.2 м

Период колебаний связан с частотой (f) следующим образом: \(T = \frac{1}{f}\).
Подставим значение периода и найдем частоту: \(f = \frac{1}{0.3} = 3.333 \, \text{Гц}\).

Частота колебаний связана с жесткостью пружины и массой груза следующим образом: \(f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\).
Мы знаем частоту и жесткость пружины, поэтому можем решить уравнение относительно массы (m).

\(\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} = f\).

Возведем оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\(\frac{k}{m} = (2\pi f)^2\).

Теперь найдем массу:

\(m = \frac{k}{(2\pi f)^2} = \frac{400}{(2\pi \cdot 3.333)^2} \approx 0.072 \, \text{кг}\).

Итак, масса груза составляет примерно 0.072 кг.

Теперь проанализируем максимальную скорость и ускорение груза. Для этого мы можем использовать следующие формулы:

Максимальная скорость (v) в гармонических колебаниях связана с амплитудой (A) и частотой (f) следующим образом: \(v_{\text{max}} = 2\pi f A\).
Подставляем значения и находим максимальную скорость: \(v_{\text{max}} = 2\pi \cdot 3.333 \cdot 0.2 \approx 4.188 \, \text{м/c}\).

Максимальное ускорение (a) в гармонических колебаниях связано с амплитудой (A) и частотой (f) следующим образом: \(a_{\text{max}} = (2\pi f)^2 A\).
Подставляем значения и находим максимальное ускорение: \(a_{\text{max}} = (2\pi \cdot 3.333)^2 \cdot 0.2 \approx 41.91 \, \text{м/c}^2\).

Теперь напишем уравнения для координаты, скорости и ускорения груза.
Уравнение для координаты (x) в гармонических колебаниях имеет вид: \(x(t) = A \cos(2\pi f t)\).
Уравнение для скорости (v) в гармонических колебаниях имеет вид: \(v(t) = -2\pi f A \sin(2\pi f t)\).
Уравнение для ускорения (a) в гармонических колебаниях имеет вид: \(a(t) = -(2\pi f)^2 A \cos(2\pi f t)\).

Теперь нарисуем графики координаты, скорости и ускорения груза.

\[
\begin{align*}
\text{График координаты (x)} & : \\
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
\text{График скорости (v)} & : \\
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
\text{График ускорения (a)} & : \\
\end{align*}
\]

Наконец, рассмотрим полную энергию колеблющегося груза.
Полная энергия (E) груза в гармонических колебаниях равна сумме его потенциальной энергии (U) и кинетической энергии (K):
\(E = U + K\).

Потенциальная энергия (U) груза связана с его смещением (x) и жесткостью пружины (k) следующим образом: \(U = \frac{1}{2} k x^2\).
Подставляем известные значения и находим потенциальную энергию: \(U = \frac{1}{2} \cdot 400 \cdot (0.2)^2 = 8 \, \text{Дж}\).

Кинетическая энергия (K) груза связана с его скоростью (v) следующим образом: \(K = \frac{1}{2} m v^2\).
Подставляем известные значения и находим кинетическую энергию: \(K = \frac{1}{2} \cdot 0.072 \cdot (4.188)^2 \approx 0.625 \, \text{Дж}\).

Таким образом, полная энергия колеблющегося груза составляет примерно 8.625 Дж.

Надеюсь, этот ответ был полезным и понятным для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.