Какова масса поршня в вертикально расположенном цилиндре с гладкими внутренними стенками, где под поршнем находится

Delfin

48

Для решения этой задачи воспользуемся законом Гей-Люссака - газовым законом, устанавливающим пропорциональную зависимость объема газа от его температуры при постоянном давлении и количестве вещества. Формула закона Гей-Люссака имеет вид:

\[ \frac{{V_1}}{{T_1}} = \frac{{V_2}}{{T_2}} \]

где \( V_1 \) и \( T_1 \) - объем и температура газа в начальном состоянии, \( V_2 \) и \( T_2 \) - объем и температура газа в конечном состоянии.

Мы знаем, что в начальном состоянии газ находится при температуре 127 градусов Цельсия (400 K), а объем газа равен высоте положения поршня - 200 см (2 метра), при условии, что внешнее давление незначительно. Поэтому нашим начальным состоянием будет являться \( V_1 = 2 \) метра и \( T_1 = 400 \) К.

Также задано количеством вещества газа, которое равно 0,05 моль.

Там, где поршень - это граница между газом и внешней средой, оно может перемещаться под воздействием силы тяжести (\( F = m \cdot g \)).

Требуется определить значение массы поршня, обозначенной как \( m \).

Используем связку законов физики:

1) закон Гей-Люссака: \[ \frac{{V_1}}{{T_1}} = \frac{{V_2}}{{T_2}} \]

Закон основывается на прямой пропорциональности между объемом газа и его температуры.

2) закон Архимеда: \( F_A = \rho \cdot V \cdot g \)

Закон Архимеда описывает силу, действующую на погруженное в жидкость тело. В нашем случае, сила Архимеда действует на поршень, который погружен в газ.

Так как закон Архимеда действует на поршень вниз, величина этой силы должна быть равна силе тяжести данного поршня, то есть:

\( F_A = F = m \cdot g \)

Разрешим уравнение Архимеда относительно массы поршня и выразим \( m \) через плотность газа \( \rho \), объем газа \( V \) и ускорение свободного падения \( g \):

\( m = \rho \cdot V \)

У нас есть уравнение Гей-Люссака, из которого мы можем выразить объем газа \( V_2 \):

\( V_2 = V_1 \cdot \frac{{T_2}}{{T_1}} \)

Теперь мы можем подставить в уравнение Архимеда значение объема газа \( V_2 \) и выразить массу поршня:

\( m = \rho \cdot V_2 \)

\( m = \rho \cdot V_1 \cdot \frac{{T_2}}{{T_1}} \)

Заменим известные значения в формуле:

\( m = \rho \cdot 2 \cdot \frac{{T_2}}{{400}} \)

Осталось определить плотность газа \( \rho \). Для этого нам известно, что количество вещества газа равно 0,05 моль. Молярная масса газа определяется по формуле:

\( M = \frac{{m_{\text{{газа}}}}}{{n_{\text{{газа}}}}} \)

Где \( m_{\text{{газа}}} \) - масса газа, \( n_{\text{{газа}}} \) - количество вещества газа, \( M \) - молярная масса газа.

Молярная масса газа известна, так как это основная характеристика газа. Возьмем \( M = 28,97 \) г/моль - молярная масса азота (предположим, что газом является азот).

Теперь, имея молярную массу газа, мы можем вычислить плотность газа \( \rho \) по формуле:

\( \rho = \frac{{M}}{{V_2}} \)

Подставим в уравнение массы поршня значение плотности газа:

\( m = \frac{{M}}{{V_2}} \cdot 2 \cdot \frac{{T_2}}{{400}} \)

Теперь можем посчитать значение массы поршня. Будем считать, что поршень должен быть в состоянии равновесия, то есть сила тяжести равна силе Архимеда.

Итак, зная \( m \), мы можем построить график зависимости высоты положения поршня (\( h \)) от температуры газа (\( T \)). На графике ось ординат будет отображать \( h \), а ось абсцисс - \( T \).