Какова масса тела, подвешенного на пружине с жёсткостью 150 Н/м, если его плотность составляет 1250 кг/м3, а жидкость

Yaschik

65

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться двумя законами: законом Архимеда и законом Гука. Давайте сначала вспомним эти законы.

Закон Архимеда гласит: плавающий в жидкости или газе объект испытывает со стороны этой среды силу, направленную вверх, равную по модулю весу объемного смещения среды.

Закон Гука гласит: сила, с которой деформированная пружина действует на тело, пропорциональна величине его деформации (увеличению или уменьшению длины) и направлена в сторону восстановления первоначальной длины.

Теперь применим эти законы к нашей задаче. Первым делом найдем объем тела. Объем можно найти, поделив массу на плотность:

\[
V = \frac{m}{\rho}
\]

где \(V\) - объем тела, \(m\) - масса тела и \(\rho\) - плотность тела.

Теперь, согласно закону Архимеда, сила, действующая на тело, равна силе тяжести тела (весу) и обусловлена весом смещенной жидкости:

\[
F_{\text{Арх}} = \rho_{\text{ж}} \cdot V \cdot g
\]

где \(F_{\text{Арх}}\) - сила Архимеда, \(\rho_{\text{ж}}\) - плотность жидкости и \(g\) - ускорение свободного падения (9,8 м/с\(^2\)).

И, согласно закону Гука, сила, действующая на тело со стороны пружины, равна произведению жесткости пружины на удлинение пружины:

\[
F_{\text{Гука}} = k \cdot \Delta L
\]

где \(F_{\text{Гука}}\) - сила Гука, \(k\) - жесткость пружины и \(\Delta L\) - изменение длины пружины.

Так как эти две силы должны равновесить друг друга, можем записать уравнение:

\[
F_{\text{Арх}} = F_{\text{Гука}}
\]

\[
\rho_{\text{ж}} \cdot V \cdot g = k \cdot \Delta L
\]

Теперь подставим значения в эту формулу:

\[
900 \, \text{кг/м}^3 \cdot V \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 = 150 \, \text{Н/м} \cdot \Delta L
\]

Мы знаем, что плотность тела равна 1250 кг/м\(^3\), поэтому:

\[
900 \, \text{кг/м}^3 \cdot V \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 = 150 \, \text{Н/м} \cdot \Delta L = 1250 \, \text{кг/м}^3 \cdot V \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2
\]

Мы видим, что значение \(V \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2\) обоих сторон этого уравнения сокращается:

\[
900 \, \text{кг/м}^3 = 150 \, \text{Н/м} = 1250 \, \text{кг/м}^3
\]

Сокращаем общий множитель 50:

\[
18 = 25
\]

Это неверное утверждение, следовательно, такое равенство не может быть верным, а значит, система находится в равновесии при \(\Delta L \neq 0\).

Таким образом, если подвешенное на пружине тело имеет плотность 1250 кг/м\(^3\) и погружено в жидкость с плотностью 900 кг/м\(^3\), то тело будет находиться в равновесии с пружиной при увеличении или уменьшении длины пружины \(\Delta L\). Масса тела не играет роли в равновесии системы.