Какова мера угла B в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, если известно, что длина высоты CD равна DA=11

Nikolay

9

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать геометрические свойства прямоугольных треугольников.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, высота CD проходит из вершины прямого угла C до основания AB.

Обозначим точку пересечения высоты CD с гипотенузой AB как точку D. Дано, что длина высоты CD равна DA=11 и AC=22.

Так как высота является перпендикуляром к основанию, то прямоугольный треугольник ADC и треугольник ABC подобны.

Из подобия треугольников, мы знаем, что отношение соответствующих сторон этих двух треугольников будет одинаковым.

Поэтому, мы можем записать следующее отношение:

\(\frac{AC}{AD} = \frac{AB}{AC}\)

Подставляя известные значения, получим:

\(\frac{22}{11} = \frac{AB}{22}\)

Решая данное уравнение относительно AB, получаем:

\(AB = 44\)

Теперь, нам необходимо найти меру угла B. Мы можем использовать геометрическую связь между углами прямоугольного треугольника: сумма мер углов треугольника равна 180 градусам.

Так как угол C является прямым углом и равен 90 градусам, то сумма углов A и B должна быть равна 90 градусам.

Зная, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, мы можем записать следующее:

\(A + B + C = 180\)

Подставляя известные значения, получаем:

\(A + B + 90 = 180\)

Решая данное уравнение относительно B, получаем:

\(B = 90 - A\)

Так как угол B и угол A являются острыми углами, и их сумма равна 90 градусам, то их меры будут дополнять друг друга.

Таким образом, мера угла B в прямоугольном треугольнике ABC будет равна мере угла A.

Ответ: Мера угла B равна мере угла A.

Теперь нам необходимо найти меру угла A. Из соотношения сторон прямоугольных треугольников мы можем записать следующее:

\(\frac{AC}{AD} = \frac{AB}{AC}\)

Подставляя известные значения и решая уравнение относительно AC, получаем:

\(AC^2 = AD \cdot AB = 11 \cdot 44 = 484\)

Извлекая корень, получаем:

\(AC = \sqrt{484} = 22\)

Теперь, чтобы найти меру угла A, мы можем использовать теорему косинусов, которая устанавливает связь между длинами сторон треугольника и косинусами его углов.

В нашем случае, мы можем использовать следующую формулу:

\(\cos A = \frac{AC}{AB}\)

Подставляя известные значения, получаем:

\(\cos A = \frac{22}{44} = \frac{1}{2}\)

Теперь, чтобы найти меру угла A, мы можем применить обратную функцию косинуса (арккосинус) к обеим сторонам уравнения:

\(A = \arccos \left(\frac{1}{2}\right)\)

Расчитав значение арккосинуса, получаем:

\(A \approx 60^\circ\)

Так как мера угла B равна мере угла A (как мы уже обсудили выше), то:

\(B \approx 60^\circ\)

Итак, мера угла B в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, когда длина высоты CD равна DA=11 и AC=22, равна примерно 60 градусам.