Какова модифицированная форма выражения X - lg5 = xlgl5 + 2xlgl2 - lgl(1 + 2^x)? Укажите решение или просто ответ

Золотой_Лист

35

Для решения данной задачи, мы должны найти модифицированную форму выражения \(X - \log_5 = \log_5x + 2\log_52 - \log(1 + 2^x)\). Давайте выполним пошаговое решение.

Шаг 1: Сгруппируем все логарифмические выражения в одну сторону уравнения:
\[\begin{align*}
X - \log_5 &= \log_5x + 2\log_52 - \log(1 + 2^x) \\
X - \log_5 - \log_5x &= 2\log_52 - \log(1 + 2^x)
\end{align*}\]

Шаг 2: Используем свойства логарифмов, чтобы упростить выражение. Здесь нам понадобятся следующие свойства:
- \(\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\)
- \(\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)\)
- \(\log_b(b^x) = x\)

Применим эти свойства к уравнению:
\[\begin{align*}
X - \log_5 - \log_5x &= 2\log_52 - \log(1 + 2^x) \\
\log_5\left(\frac{X}{x}\right) &= \log_52^2 - \log(1 + 2^x) \\
\log_5\left(\frac{X}{x}\right) &= 2\log_5 2 - \log(1 + 2^x) \\
\log_5\left(\frac{X}{x}\right) &= \log_5(2^2) - \log(1 + 2^x) \\
\log_5\left(\frac{X}{x}\right) &= \log_5(4) - \log(1 + 2^x) \\
\log_5\left(\frac{X}{x}\right) &= \log_5\left(\frac{4}{1 + 2^x}\right)
\end{align*}\]

Шаг 3: Используем свойство равенства логарифмов, чтобы найти выражение внутри логарифма:
\[\frac{X}{x} = \frac{4}{1 + 2^x}\]

Шаг 4: Решим это уравнение относительно \(X\):
\[\begin{align*}
X &= \frac{4x}{1 + 2^x}
\end{align*}\]

Таким образом, модифицированная форма выражения \(X - \log_5 = \log_5x + 2\log_52 - \log(1 + 2^x)\) равна \(X = \frac{4x}{1 + 2^x}\). Это окончательный ответ.