Какова мощность механической лебедки в многоквартирном высотном жилом доме при подъеме альпиниста на 15 метров
Какова мощность механической лебедки в многоквартирном высотном жилом доме при подъеме альпиниста на 15 метров за 3 минуты? Масса альпиниста в полной экипировке составляет 93 кг, а масса одного метра веревки - 86 грамм. Пожалуйста, предоставьте ответ в метрах в секунду, округлив до целых, и в ваттах, округлив до десятых.
Морж 36
Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для работы \( W \), которая определяется как произведение силы \( F \) на перемещение \( d \), выраженное следующим образом:\[ W = F \cdot d \]
Так как работа измеряется в джоулях (Дж), нам нужно перевести ответ в ватты. Мощность \( P \) определяется как количество работы, выполненной в единицу времени. Формула мощности выглядит так:
\[ P = \frac{W}{t} \]
где \( t \) - время, затраченное на выполнение работы.
Сначала мы должны найти работу, которую необходимо совершить, чтобы поднять альпиниста на высоту 15 метров. Мы можем использовать равенство работы и изменения потенциальной энергии, которое записывается следующим образом:
\[ W = \Delta PE \]
Потенциальная энергия \( PE \) вычисляется по формуле:
\[ PE = m \cdot g \cdot h \]
где \( m \) - масса альпиниста, \( g \) - ускорение свободного падения (приблизительно равно \( 9.8 \, \text{м/c}^2 \)), и \( h \) - высота. В этой формуле нужно учесть, что нам необходимо поднять не только альпиниста, но и веревку, поэтому мы умножаем массу веревки на высоту тоже.
Давайте рассчитаем работу:
\[ W = (m + m_{\text{веревки}}) \cdot g \cdot h \]
Здесь \( m_{\text{веревки}} \) - масса веревки, равная массе одного метра веревки, умноженной на высоту:
\[ m_{\text{веревки}} = \text{масса веревки} \cdot h \]
Подставляем значения и проводим вычисления:
\[ m_{\text{веревки}} = 0.086 \, \text{кг/м} \cdot 15 \, \text{м} = 1.29 \, \text{кг} \]
\[ W = (93 \, \text{кг} + 1.29 \, \text{кг}) \cdot 9.8 \, \text{м/c}^2 \cdot 15 \, \text{м} = 14527.26 \, \text{Дж} \]
Теперь у нас есть работа, выполненная за 3 минуты (или 180 секунд). Мы можем использовать эту информацию для рассчета мощности:
\[ P = \frac{14527.26 \, \text{Дж}}{180 \, \text{с}} \approx 80.71 \, \text{Вт} \]
Округляем результат до десятых.
Теперь давайте определим мощность в метрах в секунду. Сначала найдем скорость, с которой поднимается альпинист:
\[ v = \frac{d}{t} = \frac{15 \, \text{м}}{180 \, \text{с}} \approx 0.083 \, \text{м/с} \]
Округляем результат до целых.
Итак, мощность механической лебедки при подъеме альпиниста составляет около 0.08 м/с и 80.7 Вт.