Какова начальная температура второго тела в пустом теплоизолированном калориметре, если первое тело начально имело

Дарья

7

Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Тепло, перешедшее от первого тела к калориметру, равно теплу, перешедшему от калориметра ко второму телу.

Обозначим через \( m_1 \) массу первого тела, \( T_1 \) - его начальную температуру, \( m_2 \) - массу второго тела, \( T_2 \) - его начальную температуру, \( C \) - теплоемкость калориметра, а \( \Delta T \) - изменение температуры первого тела.

Тепло, перешедшее от первого тела к калориметру, равно \( Q_1 = m_1 \cdot c \cdot \Delta T \), где \( c \) - удельная теплоемкость материала первого тела.

Тепло, перешедшее от калориметра ко второму телу, равно \( Q_2 = m_2 \cdot c \cdot \Delta T_2 \), где \( \Delta T_2 \) - изменение температуры второго тела.

Тепло, перешедшее от калориметра в окружающую среду, равно \( Q_3 = C \cdot \Delta T_3 \), где \( \Delta T_3 = T_{\text{окр}} - T_2 \) - разница температур калориметра и окружающей среды.

Из закона сохранения энергии имеем: \( Q_1 = Q_2 + Q_3 \).
Заменим значения теплообменов соответствующими выражениями:
\[ m_1 \cdot c \cdot \Delta T = m_2 \cdot c \cdot \Delta T_2 + C \cdot \Delta T_3 \]

Так как установившаяся температура в калориметре составляет 20 °C, то \( \Delta T_3 = 20 - T_2 \).

Также из условия задачи известно, что \( T_1 = 60 \) °C, \( T_2 = 40 \) °C и \( T_3 = 16 \) °C.

Подставляя все известные значения в уравнение, получаем:
\[ m_1 \cdot c \cdot (T_1 - T_2) = m_2 \cdot c \cdot (T_2 - T) + C \cdot (20 - T_2) \]

Поскольку теплоизоляция позволяет считать, что состояние веществ не меняется, то температуры первого и второго тел в пустом калориметре приравниваются. То есть \( T = T_1 \).

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \( T \):

\[ m_1 \cdot c \cdot (T_1 - T_2) = m_2 \cdot c \cdot (T_2 - T_1) + C \cdot (20 - T_2) \]

Раскроем скобки:

\[ m_1 \cdot c \cdot T_1 - m_1 \cdot c \cdot T_2 = m_2 \cdot c \cdot T_2 - m_2 \cdot c \cdot T_1 + 20C - C \cdot T_2 \]

Сгруппируем по переменным:

\[ (m_1 \cdot c + m_2 \cdot c + C) \cdot T_1 = (m_1 \cdot c + m_2 \cdot c + C) \cdot T_2 + 20C \]

Отсюда получаем, что \( T_1 = T_2 + \frac{20C}{m_1 \cdot c + m_2 \cdot c + C} \).

Подставив известные значения: \( T_2 = 40 \), \( C = m_2 \cdot c \), \( m_1 \cdot c + m_2 \cdot c + C = m_1 \cdot c + m_2 \cdot c + m_2 \cdot c = (m_1 + 2m_2) \cdot c \), получаем:

\[ T_1 = 40 + \frac{20 \cdot m_2 \cdot c}{(m_1 + 2m_2) \cdot c} \]

Сокращаем на \( c \):

\[ T_1 = 40 + \frac{20 \cdot m_2}{m_1 + 2m_2} \]

Таким образом, начальная температура второго тела в пустом теплоизолированном калориметре составляет 40 + \(\frac{20 \cdot m_2}{m_1 + 2m_2}\) °C.

Поскольку значения массы \( m_1 \) и \( m_2 \) не заданы, окончательное выражение является ответом на задачу.