Какова наименьшая возможная длина стороны исходного квадрата, если он разрезан на четыре равных квадрата, каждый

Skolzkiy_Pingvin

25

Чтобы найти наименьшую возможную длину стороны исходного квадрата, нам нужно рассмотреть самый большой из всех равных прямоугольников, на которые разделен квадрат.

На рисунке видно, что один из прямоугольников содержит 10 равных прямоугольников вдоль одной из его сторон. Пусть данная сторона равна \(x\) единицам.

Тогда, длина стороны прямоугольника, содержащего 10 равных прямоугольников, будет равна \(\frac{x}{10}\).

Аналогично, длина стороны прямоугольника, содержащего 9 равных прямоугольников, будет равна \(\frac{x}{9}\).

Таким образом, длина стороны большего по размеру прямоугольника будет равна наименьшему общему кратному длин сторон прямоугольников, то есть \(\text{НОК}\left(\frac{x}{10}, \frac{x}{9}\right)\).

Найдем НОК. Для этого разложим числа на простые множители и возьмем максимальную степень каждого простого числа, встречающегося в разложении:

\[
\frac{x}{10} = \frac{x}{2 \cdot 5} = \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{5},
\]

\[
\frac{x}{9} = \frac{x}{3^2} = \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{3}.
\]

Из полученного выражения видно, что простое число 3 и 5 входят в разложение разных чисел с одной и той же степенью 1. Поэтому, наименьшее общее кратное будет равно:

\[
\text{НОК}\left(\frac{x}{10}, \frac{x}{9}\right) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = x.
\]

Таким образом, длина стороны большего по размеру прямоугольника равна \(x\) единицам.

Теперь остается найти такое значение \(x\), при котором квадрат разрезается на 4 равных прямоугольника.

Заметим, что исходный квадрат делится на четыре равных прямоугольника только в том случае, если длины сторон большего прямоугольника делятся на 4 без остатка.

Так как \(x\) - это длина стороны большего прямоугольника, то \(x\) должно быть кратно 4 (и еще один из последовательности чисел 6, 7, 9, 10 должен делиться на 4 без остатка).

Таким образом, наименьшее возможное значение для \(x\) будет минимальным общим кратным чисел 4, 6, 7, 9 и 10.

Разложим эти числа на простые множители:

\[
4 = 2^2,
\]
\[
6 = 2 \cdot 3,
\]
\[
7 = 7,
\]
\[
9 = 3^2,
\]
\[
10 = 2 \cdot 5.
\]

Возьмем максимальную степень каждого простого числа:

\[
2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520.
\]

Таким образом, наименьшая возможная длина стороны исходного квадрата равна 2520 единицам.