Какова напряженность магнитного поля в центре кольца, если на кольцевом проводнике с радиусом 6 см проходит ток 10

Leonid

43

Для решения задачи, мы можем использовать закон Био-Савара-Лапласа и принцип суперпозиции. Сначала определим напряженность магнитного поля от кольца.

Закон Био-Савара-Лапласа гласит, что дифференциальная напряженность магнитного поля \(d\vec{H}\) в точке, находящейся на расстоянии \(d\) от элемента проводника длиной \(dl\), пропорциональна току \(I\) в проводнике и обратно пропорциональна квадрату расстояния \(d\):

\[d\vec{H} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \cdot d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}\]

где \(\mu_0\) — магнитная постоянная, \(\vec{r}\) — радиус-вектор, направленный из элемента проводника в точку, и \(r\) — модуль радиус-вектора.

Для случая кольца с током, мы можем представить его как набор элементов проводника, распределенных по всему окружности. Мы знаем, что ток в кольце \(I_1 = 10 \, \text{A}\), а его радиус \(R_1 = 6 \, \text{см}\).

Так как кольцо симметрично, то поле в центре кольца будет сонаправлено с другими его элементами, и их вклады в суммарное поле складываются. Каждый элемент проводника находится на одном и том же расстоянии от центра кольца, поэтому угловые элементы длины \(d\vec{l}\) всех элементов кольца будут сонаправлены.

Таким образом, суммарное поле в центре кольца будет равно сумме вкладов всех элементов проводника:

\[\vec{H_1} = \int d\vec{H} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{I_1 \cdot d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}\]

Раскладывая этот интеграл на составляющие и интегрируя по углу, получаем:

\[\vec{H_1} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I_1 R_1^2}{(R_1^2 + r^2)^{3/2}} \vec{k}\]

где \(r\) — расстояние от центра кольца до точки в сферических координатах, а \(\vec{k}\) — единичный вектор, направленный вдоль оси \(z\).

Теперь рассмотрим вклад прямого провода, находящегося на расстоянии \(d_2 = 5 \, \text{см}\) от центра кольца. Его ток равен \(I_2 = 15 \, \text{A}\).

Применяя закон Био-Савара-Лапласа для прямого провода, можем записать выражение для напряженности магнитного поля от прямого провода:

\[\vec{H_2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I_2}{d_2} \vec{k}\]

Так как поле в центре кольца и поле от прямого провода являются векторами, то суммарная напряженность магнитного поля в центре кольца будет равна векторной сумме полей:

\[\vec{H_{\text{сум}}}= \vec{H_1} + \vec{H_2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I_1 R_1^2}{(R_1^2 + r^2)^{3/2}} \vec{k} + \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I_2}{d_2} \vec{k}\]

Теперь мы можем подставить числовые значения и вычислить суммарную напряженность магнитного поля в центре кольца.

\(\vec{k}\) — единичный вектор, направленный вдоль оси \(z\), поэтому используя свойства векторных операций, можем записать:

\[\vec{H_{\text{сум}}} = \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I_1 R_1^2}{(R_1^2 + r^2)^{3/2}} + \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I_2}{d_2} \right) \vec{k}\]

Подставляя числовые значения \(I_1 = 10 \, \text{A}\), \(R_1 = 6 \, \text{см}\), \(I_2 = 15 \, \text{A}\), и \(d_2 = 5 \, \text{см}\), получим:

\[\vec{H_{\text{сум}}} = \left( \frac{(4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл}\cdot\text{м/А})}{4\pi} \frac{(10 \, \text{A})(0.06 \, \text{м})^2}{(0.06 \, \text{м})^2 + (0 \, \text{м})^2)^{3/2}} + \frac{(4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл}\cdot\text{м/А})}{4\pi} \frac{15 \, \text{А}}{0.05 \, \text{м}} \right) \vec{k}\]

Выполняя вычисления, получим:

\[\vec{H_{\text{сум}}} \approx 1.35 \, \text{Тл}\cdot\text{м/А} \cdot \vec{k}\]

Таким образом, максимальная напряженность магнитного поля в центре кольца округляется до \(1 \, \text{Тл}\cdot\text{м/А}\) (единица измерения — Тесла на метр на Ампер).