Какова напряженность магнитного поля в точке О, если ток в проводнике I равен 4 А, а радиус R составляет 0,08?

Putnik_Sudby

16

Для решения данной задачи, мы можем использовать закон Био-Савара-Лапласа, который позволяет нам найти магнитное поле в некоторой точке, создаваемое проводником с током.

Закон Био-Савара-Лапласа гласит, что магнитное поле \(B\) в некоторой точке, создаваемое элементом проводника с длиной \(dL\) и током \(I\), можно найти по формуле:

\[
d\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{I \cdot d\vec{L} \times \vec{r}}}{{r^3}}
\]

Где:
- \(\mu_0\) является магнитной постоянной (\(\mu_0 \approx 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А}\));
- \(I\) - ток в проводнике;
- \(d\vec{L}\) - элемент проводника;
- \(\vec{r}\) - вектор в направлении от элемента проводника к точке, в которой мы ищем магнитное поле;
- \(r\) - расстояние между элементом проводника и точкой, в которой мы ищем магнитное поле.

В нашей задаче нам необходимо найти магнитное поле в точке \(O\) . Поскольку в проводнике имеется радиус \(R\), для нахождения магнитного поля в точке \(O\), нам нужно интегрировать магнитное поле от элементов проводника по всей его длине.

Проводник можно представить в виде круга, и каждый элемент проводника будет иметь длину \(dL = R \cdot d\theta\) где \(d\theta\) - это ширина элемента проводника в радианах.

Для облегчения интегрирования и учета симметрии задачи, рассмотрим всего одну половину провода. Тогда полный интеграл можно получить, домножив результат на 2.

Теперь мы можем перейти к вычислению магнитного поля.

Вектор \(d\vec{L}\) будет иметь направление касательной к окружности в точке, где находится элемент проводника. Мы можем выбрать систему координат таким образом, чтобы ось \(x\) была направлена в точку \(O\). Тогда вектор \(d\vec{L}\) можно записать как \(d\vec{L} = -R \cdot \sin(\theta) \cdot d\theta \cdot \hat{j}\).

Вектор \(\vec{r}\) будет направлен из элемента проводника в точку \(O\). Длина вектора \(\vec{r}\) равна расстоянию от элемента проводника до точки \(O\), и равна \(r = R\). Отсюда, можно записать \(\vec{r} = R \cdot \hat{i}\), где \(\hat{i}\) - это единичный вектор вдоль оси \(x\).

Теперь, подставляя все в формулу Био-Савара-Лапласа, получим:

\[
d\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{I \cdot (-R \cdot \sin(\theta) \cdot d\theta \cdot \hat{j}) \times (R \cdot \hat{i})}}{{R^3}}
\]

Упростим это выражение, находя скалярное произведение:

\[
d\vec{B} = \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot d\theta}}{{4\pi \cdot R^2}} \cdot \sin(\theta) \cdot \hat{k}
\]

Где \(\hat{k}\) - это единичный вектор вдоль оси \(z\) (вектор, выходящий из плоскости рисунка), он ортогонален плоскости проводника.

Теперь мы знаем, как записать магнитное поле \(d\vec{B}\), создаваемое каждым элементом проводника, в декартовых координатах (\(x, y, z\)).

Для нахождения полного магнитного поля в точке \(O\), мы должны проинтегрировать \(d\vec{B}\) по всем элементам проводника.

\[
\vec{B} = \int d\vec{B} = \int \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot d\theta}}{{4\pi \cdot R^2}} \cdot \sin(\theta) \cdot \hat{k}
\]

Так как проводник является кругом, мы должны выполнить интегрирование по всем углам \(\theta\), начиная с нуля и заканчивая \(\pi\).

\[
\vec{B} = \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot \hat{k}}}{{4\pi \cdot R^2}} \int_{0}^{\pi} \sin(\theta) \, d\theta
\]

Вычислим данное интеграл:

\[
\int_{0}^{\pi} \sin(\theta) \, d\theta = [-\cos(\theta)]_{0}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - (-\cos(0)) = 2
\]

Теперь можем продолжить вычисление:

\[
\vec{B} = \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot \hat{k}}}{{4\pi \cdot R^2}} \cdot 2 = \frac{{2 \cdot \mu_0 \cdot I}}{{4\pi \cdot R^2}} \cdot \hat{k}
\]

Окончательно, магнитное поле в точке \(O\) будет иметь следующую форму:

\[
\vec{B} = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{2\pi \cdot R^2}} \cdot \hat{k}
\]

Для нашей задачи, где \(I = 4\) А и \(R = 0,08\), получаем следующее значение магнитной напряженности:

\[
\vec{B} = \frac{{4\pi \times 10^{-7} \cdot 4}}{{2\pi \cdot 0,08^2}} \cdot \hat{k}
\]

Выполняя вычисления, получается:

\[
\vec{B} = 5 \times 10^{-5} \, \text{Тл} \cdot \hat{k}
\]

Таким образом, напряженность магнитного поля в точке \(O\) равна \(5 \times 10^{-5}\) Тл.