Какова оптимальная комбинация чашек кофе и пирожных, чтобы получить максимальную полезность, если функция полезности

Valentinovna

45

Для решения данной задачи оптимизации, нам необходимо найти комбинацию чашек кофе (x) и пирожных (y), которая максимизирует функцию полезности tu = 2x * y при условии ограничения на бюджет потребителя.

Пусть x - количество чашек кофе, y - количество пирожных.

Функция полезности задана как tu = 2x * y. Теперь мы можем выразить одну переменную через другую с помощью бюджетного ограничения.

Цены товаров заданы как px = 100 (цена чашки кофе) и py = 150 (цена пирожного).

Бюджет потребителя равен 700 денежным единицам.

Из бюджетного ограничения мы можем получить следующее уравнение:

px * x + py * y <= 700.

Подставляя значения цен и бюджета:

100 * x + 150 * y <= 700.

Теперь мы можем решить это ограничение относительно одной переменной, например, x:

x <= (700 - 150 * y) / 100.

Также мы знаем, что количество товаров не может быть отрицательным, поэтому x >= 0 и y >= 0.

Теперь, имея выражение для x относительно y и знание ограничений для переменных, мы можем определить оптимальную комбинацию чашек кофе и пирожных.

Мы можем построить таблицу, сравнивая значения функции полезности при различных комбинациях чашек кофе и пирожных:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Чашки кофе (x)} & \text{Пирожные (y)} & \text{Ценность (2x*y)}\\
\hline
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 2 \\
2 & 1 & 4 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 2 & 4 \\
2 & 2 & 8 \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что наибольшая ценность достигается при комбинации 2 чашек кофе и 2 пирожных, где ценность равна 8.

Таким образом, оптимальная комбинация, чтобы получить максимальную полезность, состоит из 2 чашек кофе и 2 пирожных. В данном случае, максимальная полезность равна 8.