Какова ошибка выборки с вероятностью 0,954 в результате типичной пропорциональной выборки с 1%-ным размером, в которой

Николай

51

Ошибка выборки (стандартная ошибка) связана с неизбежной случайной ошибкой, которая возникает при использовании выборочных данных для оценки параметров популяции. Она измеряет разброс выборочных оценок и позволяет оценить точность этих оценок. В данном случае мы можем рассчитать стандартную ошибку выборки для среднего диаметра сосен и елей.

Для начала определим формулу для стандартной ошибки выборки для пропорциональной выборки:

\[
\text{{стандартная ошибка выборки}} = \sqrt{\frac{{p(1-p)}}{n}}
\]

где \(p\) - пропорция элементов в популяции, \(n\) - размер выборки.

В данном случае, у нас две группы - сосны и ели. Размер выборки для каждой группы составляет 50, и соответственно, пропорция для каждой группы равна 0.5, так как в выборке по 50 сосен и 50 елей. Подставим значения в формулу:

\[
SE = \sqrt{\frac{{0.5(1-0.5)}}{50}} = \sqrt{\frac{{0.25}}{50}} = \sqrt{0.005} \approx 0.071
\]

Теперь нужно рассчитать значение z-статистики для оценки вероятности 0.954, так как у нас известна общая дисперсия диаметра деревьев в выборке, можно использовать нормальное распределение.

Значение z-статистики можно найти с помощью таблицы нормального распределения или с использованием стандартной нормальной функции обратного накопленного распределения (inverse cumulative distribution function) в программе или калькуляторе. Для оценки вероятности 0.954, z-статистика будет примерно равна 1.96.

Наконец, ошибка выборки будет равна произведению стандартной ошибки выборки на значение z-статистики:

\[
\text{{ошибка выборки}} = SE \times \text{{z-статистика}} = 0.071 \times 1.96 \approx 0.139
\]

Таким образом, ошибка выборки с вероятностью 0.954 для типичной пропорциональной выборки с размером 1%-ного размера и выборкой из 50 сосен и 50 елей будет около 0.139 мм. Это значит, что с 95.4% вероятностью средний диаметр всей популяции будет отличаться от среднего диаметра выборки на значение до 0.139 мм.