Какова относительная диэлектрическая проницаемость среды, если при перемещении точечного заряда из вакуума в эту среду

Парящая_Фея

15

Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся формула для электрического поля точечного заряда и формула для потенциала электрического поля.

Формула для электрического поля точечного заряда:
\[ E = \dfrac{{k \cdot q}}{{r^2}} \]
где \( E \) - электрическое поле, \( k \) - постоянная Кулона (\( 8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \)), \( q \) - заряд точечного заряда, \( r \) - расстояние от точечного заряда.

Формула для потенциала электрического поля:
\[ V = \dfrac{{k \cdot q}}{{r}} \]
где \( V \) - потенциал электрического поля, \( k \) - постоянная Кулона (\( 8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \)), \( q \) - заряд точечного заряда, \( r \) - расстояние от точечного заряда.

Из задачи дано, что потенциал электрического поля на расстоянии 3 м от заряда изменяется с 400 В до некоторого значения в этой среде. Обозначим это значение за \( V" \).

Теперь нам нужно использовать формулы для потенциала электрического поля, чтобы найти выражение для относительной диэлектрической проницаемости среды.

Перепишем формулу для потенциала электрического поля:
\[ V = \dfrac{{k \cdot q}}{{r}} \]

Разделим это выражение для вакуума (\( V_{\text{вакуум}} \)) и для среды (\( V"_{\text{среда}} \)):
\[ V_{\text{вакуум}} = \dfrac{{k \cdot q}}{{r}} \]
\[ V"_{\text{среда}} = \dfrac{{k" \cdot q}}{{r}} \]
где \( k" \) - относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Так как и заряд, и расстояние остаются неизменными, можем написать:
\[ \dfrac{{V"_{\text{среда}}}}{{V_{\text{вакуум}}}} = \dfrac{{k" \cdot q}}{{k \cdot q}} \]
\[ \dfrac{{V"_{\text{среда}}}}{{V_{\text{вакуум}}}} = \dfrac{{k"}}{{k}} \]

Теперь, подставляя значения в формулу, получим:
\[ \dfrac{{V"_{\text{среда}}}}{{400 \, \text{В}}} = \dfrac{{k"}}{{8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2}} \]

Мы знаем, что \( V"_{\text{среда}}} = 3 \, \text{м} \), поэтому:
\[ \dfrac{{3 \, \text{м}}}{{400 \, \text{В}}} = \dfrac{{k"}}{{8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2}} \]

Теперь, чтобы найти относительную диэлектрическую проницаемость среды \( k" \), перемножим обе стороны уравнения на \( 400 \, \text{В} \):
\[ 3 \, \text{м} = \dfrac{{k" \cdot 400 \, \text{В}}}{8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2} \]

Теперь решим это уравнение относительно \( k" \):
\[ k" = \dfrac{{3 \, \text{м} \cdot 8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2}}{400 \, \text{В}} \]

Выполняем расчет:
\[ k" = 6.7425 \times 10^7 \, \text{Кл/м}^2 \]

Итак, относительная диэлектрическая проницаемость среды \( k" \) составляет \( 6.7425 \times 10^7 \, \text{Кл/м}^2 \).