Какова площадь боковой поверхности цилиндра, если его осевым сечением является квадрат, у которого диагональ равна

Timur

12

Давайте решим эту задачу пошагово. У нас есть цилиндр, у которого осевым сечением является квадрат. Также нам дана информация о диагонали квадрата, которая равна \(d\).

Шаг 1: Найдите сторону квадрата.
Чтобы найти сторону квадрата, мы можем использовать свойство равнобокости квадрата. Так как диагональ делит квадрат на два равнобедренных треугольника, то мы знаем, что диагональ равна гипотенузе треугольника.

Так как у равнобедренного треугольника боковые стороны равны, то мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны квадрата.

Теорема Пифагора гласит: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Пусть \(a\) - сторона квадрата, тогда применяя теорему Пифагора, получаем уравнение:

\[a^2 + a^2 = d^2\]

Шаг 2: Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти, используя формулу:

\[S = 2 \pi r h\]

где \(r\) - радиус цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

Мы знаем, что радиус цилиндра равен половине длины стороны квадрата. Поэтому \(r = \frac{a}{2}\).

Также нам дано, что осевое сечение цилиндра является квадратом, поэтому его высота равна стороне квадрата.

Шаг 3: Подставьте значения в формулу.

Подставим значения в формулу для площади боковой поверхности цилиндра:

\[S = 2 \pi \frac{a}{2} \cdot a\]

Упростим выражение:

\[S = \pi a^2\]

Шаг 4: Замените значение \(a\) в выражении.

Мы знаем, что \(a^2 + a^2 = d^2\) из шага 1. Подставим это значение в формулу для площади боковой поверхности цилиндра:

\[S = \pi (a^2)\]
\[S = \pi \left(\frac{d^2}{2}\right)\]
\[S = \frac{\pi d^2}{2}\]

Итак, площадь боковой поверхности цилиндра, у которого осевым сечением является квадрат с диагональю \(d\), равна \(\frac{\pi d^2}{2}\).