Какова площадь боковой поверхности цилиндра, если у него диагональ осевого сечения равна 10 и угол диагоналями осевого

Жираф_5284

63

Конечно! Для решения этой задачи, мы сначала должны выяснить, какие величины нам даны и как мы можем использовать их для нахождения площади боковой поверхности цилиндра.

У нас есть диагональ осевого сечения цилиндра, которая равна 10, и угол диагоналями осевого сечений составляет 120 градусов. Для начала, давайте представим этот цилиндр и визуализируем его, чтобы лучше понять.

Затем давайте разложим цилиндр на его основание и образуемый им прямоугольник. Таким образом, наше задание сводится к нахождению площади боковой поверхности прямоугольника.

Угол диагоналями осевого сечения составляет 120 градусов, что означает, что между диагоналями есть равносторонний треугольник. Если мы нарисуем диагонали и соединим их, то получим равносторонний треугольник.

Теперь, для изучения этого треугольника, нам понадобятся его стороны. Давайте обозначим сторону треугольника как \(a\). Так как треугольник равносторонний, то все его стороны равны между собой. Таким образом, \(a = 10\) (длина диагонали).

Сейчас нам нужно выразить высоту этого треугольника через его стороны. Поскольку у нас равносторонний треугольник, мы знаем, что его высота равна \(\frac{a \sqrt{3}}{2}\).

Теперь мы можем перейти к нахождению площади боковой поверхности прямоугольника. Она будет равна произведению периметра основания и высоты. Периметр можно найти как сумму всех сторон прямоугольника: \(2a\) для оснований и \(a\sqrt{3}\) для боковой стороны. Таким образом, периметр будет равен \(2a + a\sqrt{3}\).

Теперь, если у нас есть площадь прямоугольника, она будет равна произведению периметра на высоту: \((2a + a\sqrt{3}) \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2}\). Давайте упростим это уравнение.

Получим: \(\frac{a \sqrt{3}(2a + a\sqrt{3})}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3} + 2a^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2} + \frac{2a^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{5a^2 \sqrt{3}}{2}\).

Теперь у нас есть выражение для нахождения площади боковой поверхности цилиндра. Мы знаем, что \(a = 10\), поэтому положим \(a = 10\) в выражение:

\(\frac{5 \cdot 10^2 \sqrt{3}}{2} = 250\sqrt{3}\).

Таким образом, площадь боковой поверхности этого цилиндра равна \(250\sqrt{3}\) квадратных единиц.