Какова площадь боковой поверхности и полной поверхности, когда прямоугольная трапеция вращается вокруг стороны АВ, угол

Muzykalnyy_Elf

13

Данная задача связана с нахождением площадей боковой поверхности и полной поверхности при вращении трапеции вокруг одной из её сторон. Давайте рассмотрим решение.

Площадь боковой поверхности трапеции можно найти с помощью формулы:
\[ S_б = h \cdot l \]
где \( h \) - высота трапеции, а \( l \) - длина основания.

На рисунке ниже я покажу, как выглядит трапеция вращения:

\[
\begin{tabular}{ |c| }
\hline
\includegraphics[width=200px]{trapezoid.png} \\
\hline
\end{tabular}
\]

Обратите внимание, что стрелка указывает направление вращения трапеции вокруг стороны AB.

Из условия задачи известно, что угол A составляет 90 градусов, а угол D составляет 30 градусов. Также известно, что высота DN, проведенная из вершины D, равна 3√2 см.

Обозначим длину основания AB как \( b \), а длину основания CD, равную BC, как \( a \). Заметим, что горизонтальная сторона трапеции (AC) станет окружностью при вращении.

Относительно оси вращения AB, AC будет пройти \( 360^\circ \). Отсюда можно сделать вывод, что длина окружности, равная боковой поверхности трапеции, должна быть равна периметру трапеции, то есть:
\[ S_б = P = a + b + AC \]
\[ S_б = a + b + 2\pi \cdot \frac{AC}{2} \]
\[ S_б = a + b + \pi \cdot AC \]

Зная угол D, мы можем найти высоту трапеции DN как \( h = AC \cdot \sin(D) \), так как DN - это высота, проведенная из вершины D.

Теперь мы можем объединить все эти знания и приступить к решению.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину AC:
\[ AC = \sqrt{AD^2 - CD^2} = \sqrt{(\sqrt{2} \cdot h)^2 - (\frac{a - b}{2})^2} \]
\[ AC = \sqrt{2h^2 - \frac{(a - b)^2}{4}} \]

Теперь, взяв все эти значения, мы можем рассчитать площадь боковой поверхности трапеции:
\[ S_б = a + b + \pi \cdot AC \]

Также, чтобы найти площадь полной поверхности трапеции, необходимо добавить площадь двух оснований, равных \( S_{осн} = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \).
\[ S_п = S_б + 2 \cdot S_{осн} \]

Теперь, чтобы получить конкретный ответ на задачу, необходимо подставить известные значения в уравнение и выполнить вычисления.