Каков радиус основания прямого кругового цилиндра, если объемы цилиндра и усеченного конуса, в который переплавлены

Aida

24

Для начала, давайте определим формулы для объемов цилиндра и усеченного конуса.

Объем цилиндра можно выразить следующей формулой:

\[V_{цилиндра} = \pi \cdot r^2 \cdot h_цилиндра\]

где \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14, \(r\) - радиус основания цилиндра, а \(h_цилиндра\) - высота цилиндра.

Объем усеченного конуса можно выразить следующей формулой:

\[V_{усеченного \ конуса} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (r_1^2 + r_2^2 + r_1 \cdot r_2) \cdot h_{усеченного \ конуса}\]

где \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы оснований усеченного конуса, а \(h_{усеченного \ конуса}\) - высота усеченного конуса.

Нам дано, что объемы цилиндра и усеченного конуса одинаковы. Поэтому, мы можем записать следующее уравнение:

\[\pi \cdot r^2 \cdot h_цилиндра = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (r_1^2 + r_2^2 + r_1 \cdot r_2) \cdot h_{усеченного \ конуса}\]

Мы знаем, что радиусы оснований усеченного конуса равны 4 и 6. Подставляя эти значения в уравнение, получаем:

\[\pi \cdot r^2 \cdot h_цилиндра = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (4^2 + 6^2 + 4 \cdot 6) \cdot h_{усеченного \ конуса}\]

\[\pi \cdot r^2 \cdot h_цилиндра = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (16 + 36 + 24) \cdot h_{усеченного \ конуса}\]

\[\pi \cdot r^2 \cdot h_цилиндра = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 76 \cdot h_{усеченного \ конуса}\]

Поскольку объем цилиндра и усеченного конуса одинаковы, объем усеченного конуса равен объему цилиндра. То есть:

\[\pi \cdot r^2 \cdot h_цилиндра = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 76 \cdot h_{усеченного \ конуса}\]

Теперь мы можем сократить общие множители:

\[r^2 \cdot h_цилиндра = \frac{1}{3} \cdot 76 \cdot h_{усеченного \ конуса}\]

\[r^2 \cdot h_цилиндра = \frac{76}{3} \cdot h_{усеченного \ конуса}\]

Мы знаем, что объемы цилиндра и усеченного конуса одинаковы, следовательно, \(h_цилиндра = h_{усеченного \ конуса}\). Подставим это значение:

\[r^2 \cdot h_{усеченного \ конуса} = \frac{76}{3} \cdot h_{усеченного \ конуса}\]

Теперь мы можем сократить общие множители еще раз, и получим следующее:

\[r^2 = \frac{76}{3}\]

Для определения радиуса основания прямого кругового цилиндра, нам нужно извлечь квадратный корень из обеих сторон:

\[r = \sqrt{\frac{76}{3}}\]

Таким образом, радиус основания прямого кругового цилиндра равен \(\sqrt{\frac{76}{3}}\).