Докажите, что прямая, которая параллельна одной из сторон равностороннего треугольника и пересекает две другие

Путник_С_Камнем

17

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC:

\[
\begin{array}{ccc}
A & B & C \\
& / \ & \\
& / & \ \\
& / & \
\end{array}
\]

Предположим, что прямая MN параллельна стороне AB и пересекает стороны BC и AC:

\[
\begin{array}{ccc}
A & B & C \\
& / \ & \\
& / & \ \\
M & / & \ N
\end{array}
\]

Так как треугольник ABC - равносторонний, все его стороны равны. Пусть сторона AB имеет длину x, тогда стороны BC и AC также имеют длину x.

Теперь посмотрим на треугольники AMB и BNC:

\[
\begin{array}{ccc}
A & B & C \\
& / \ & \\
& / & \ \\
M & / & \ N
\end{array}
\]

Так как прямая MN параллельна стороне AB, углы AMB и BNC также равны. В треугольнике AMB угол B равен 60 градусам (так как треугольник ABC - равносторонний), значит, каждый из углов AMB и BNC также равен 60 градусам.

Кроме того, так как треугольник ABC - равносторонний, углы BAC, ABC и BCA также равны 60 градусам. То есть углы BCA и BNC тоже равны 60 градусам.

Мы получили, что углы BNC и BCA равны 60 градусам. Поэтому треугольник BNC также является равносторонним, так как все его углы равны 60 градусам.

Таким образом, прямая MN действительно отсекает равносторонний треугольник BNC.