Какова площадь боковой поверхности конуса, если его образующая равна 8 м и наклонена к плоскости основания под углом

Solnechnaya_Luna_9801

46

Хорошо, давайте решим данную задачу. Для начала, нам понадобятся формулы для нахождения площади боковой поверхности конуса. Площадь боковой поверхности конуса можно вычислить по формуле:

\[ S = \pi \cdot r \cdot l \]

где \( l \) - образующая конуса, а \( r \) - радиус основания конуса. В данном случае нам известна образующая \( l = 8 \) м.

Также, нам требуется найти радиус основания конуса. Конус у нас наклонен к плоскости основания под углом 60 градусов. Мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения радиуса основания конуса.

Изведем прямоугольный треугольник, в котором сторона гипотенузы будет соответствовать образующей конуса, а высота этого треугольника будет равна радиусу основания конуса.

Используя теорему Пифагора в этом треугольнике, мы можем записать:

\[ r^2 = l^2 - h^2 \]

где \( h \) - высота треугольника.

Поскольку треугольник прямоугольный и у нас известен угол наклона, мы можем найти высоту \( h \) с помощью соотношения:

\[ h = l \cdot \sin \theta \]

где \( \theta \) - угол наклона конуса к плоскости основания.

Подставляя данное значение высоты в формулу для радиуса конуса, получаем:

\[ r^2 = l^2 - (l \cdot \sin \theta)^2 \]

\[ r^2 = l^2 \cdot (1 - \sin^2 \theta) \]

\[ r = \sqrt{l^2 \cdot (1 - \sin^2 \theta)} \]

Теперь, когда у нас есть значение радиуса \( r \), мы можем использовать формулу для нахождения площади боковой поверхности конуса:

\[ S = \pi \cdot r \cdot l \]

Подставляя известные значения, получаем:

\[ S = \pi \cdot \sqrt{l^2 \cdot (1 - \sin^2 \theta)} \cdot l \]

\[ S = \pi \cdot l^2 \cdot \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \]

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности конуса, подставив значения в данную формулу.