Какова площадь боковой поверхности конуса, если образующая равна 40 см и наклонена к плоскости основания под углом

Ястребок

36

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые формулы и определения.

Площадь боковой поверхности конуса можно найти, используя формулу \( S = \pi r l \), где \( S \) - площадь боковой поверхности, \( r \) - радиус основания, \( l \) - образующая конуса.

Также нам дано, что образующая равна 40 см. Образующая - это расстояние между вершиной конуса и точкой на окружности основания, через которую проходит наклоненная плоскость. В данном случае, образующая равна 40 см.

Нам также известен угол, под которым образующая наклонена к плоскости основания. В данном случае, угол равен 60 градусов.

Чтобы найти радиус основания, мы можем использовать тригонометрические соотношения. Вспомним определение тангенса угла: тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике.

В нашем случае, мы можем построить прямоугольный треугольник с гипотенузой равной образующей (40 см) и углом 60 градусов между гипотенузой и прилежащим катетом.

Зная тангенс угла 60 градусов, мы можем найти отношение противолежащего катета к основанию прямоугольного треугольника. Так как противолежащий катет равен радиусу, а гипотенуза равна образующей, мы можем записать уравнение:

\[ \tan 60^\circ = \frac{r}{40} \]

Теперь решим это уравнение относительно радиуса:

\[ r = 40 \cdot \tan 60^\circ = 40 \cdot \sqrt{3} \approx 69.28 \, \text{см} \]

Таким образом, радиус основания конуса равен примерно 69.28 см.

Теперь, когда у нас есть значения для радиуса и образующей, мы можем вычислить площадь боковой поверхности конуса, используя формулу \( S = \pi r l \). Подставим известные значения:

\[ S = \pi \cdot 69.28 \cdot 40 \approx 8700.08 \, \text{см}^2 \]

Итак, площадь боковой поверхности конуса равна примерно 8700.08 см².

Надеюсь, данный подробный ответ и пошаговое решение помогли вам понять, как найти площадь боковой поверхности конуса. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!