Какова площадь боковой поверхности конуса, который вписан в данную пирамиду, базой которой является прямоугольный

Якобин

65

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство сходства пирамиды и конуса, вписанного в пирамиду.

По условию задачи, углы при ребрах основания равны 45°. Это значит, что пирамида является прямой — все грани имеют прямые углы, а высота пирамиды, проведенная из вершины к основанию, делит прямые углы точно наполовину.

Вписанный в пирамиду конус будет подобен пирамиде, и его вершина будет лежать на вершине пирамиды. Поэтому т.к. конус вписан в пирамиду, его высота также будет делить прямые углы пирамиды напополам.

Рассмотрим поперечный срез пирамиды и конуса плоскостью, параллельной основанию пирамиды. Мы получим прямоугольный треугольник, подобный основанию пирамиды.

Имея подобные треугольники, мы можем пропорционально связать соответствующие стороны и вычислить длины этих сторон.

По условию, катеты прямоугольного треугольника, являющегося основанием пирамиды, равны 8 см и 15 см. Заметим, что призма вписана в пирамиду, поэтому стороны прямоугольного треугольника также будут основаниями соответствующих подобных треугольников.

Пусть \(h\) - высота подобного треугольника, то есть высота пирамиды (высота конуса) делит прямые углы напополам.

Теперь мы можем записать пропорцию:

\(\frac{h}{8} = \frac{15}{h}\)

Перемножим доли и получим:

\(h^2 = 8 \cdot 15\)

\(h^2 = 120\)

Извлекая квадратный корень, получим:

\(h = \sqrt{120} = 2\sqrt{30}\) см

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, мы можем воспользоваться формулой:

\(S_{\text{бок}} = \pi r l\)

Где \(r\) - радиус конуса, \(l\) - образующая конуса (в нашем случае, это высота конуса).

Найдем радиус конуса. Он будет равен половине длины основания:

\(r = \frac{8}{2} = 4\) см

Теперь подставим значения радиуса и высоты в формулу:

\(S_{\text{бок}} = \pi \cdot 4 \cdot 2\sqrt{30}\) см²

Упростим выражение:

\(S_{\text{бок}} = 8\pi \sqrt{30}\) см²

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду, базой которой является прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 15 см, а углы при ребрах основания равны 45°, равна \(8\pi \sqrt{30}\) см².