Какова площадь боковой поверхности параллелепипеда с основанием в форме ромба со стороной 6 см и углом 60 градусов

Diana

51

Для решения этой задачи нам понадобится знать формулу для вычисления площади боковой поверхности параллелепипеда. Площадь боковой поверхности может быть найдена по формуле \( S_{\text{бп}} = 2bh + 2bl + 2lh, \) где \( b \) - длина основания, \( l \) - ширина параллелепипеда, \( h \) - высота параллелепипеда.

Для начала, давайте найдем высоту параллелепипеда. Мы можем использовать треугольник, образованный меньшей диагональю параллелепипеда и одной из его сторон. По условию задачи, эта сторона равна 6 см. Так как меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали его основания, можем сказать, что меньшая диагональ основания параллелепипеда также равна 6 см. Зная, что угол при основании равен 60 градусам, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длины высоты. Формула для теоремы косинусов выглядит следующим образом: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta), \) где \( c \) - длина стороны, противоположная углу, \( a \) и \( b \) - длины других двух сторон, \(\theta\) - значение угла между этими сторонами.

Применяя теорему косинусов к треугольнику, образованному меньшей диагональю и одной из сторон основания параллелепипеда, получим:
\[ 6^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ).\]

Вычислив это, мы найдем значение для длины высоты. Подставим это значение в формулу для площади боковой поверхности параллелепипеда:
\[ S_{\text{бп}} = 2 \cdot 6 \cdot 6 + 2 \cdot 6 \cdot l + 2 \cdot l \cdot h.\]

Мы можем использовать известное значение стороны параллелепипеда, равное 6 см, и найденное значение для высоты, чтобы упростить формулу:
\[ S_{\text{бп}} = 72 + 12l + 2l \cdot h.\]

Теперь нам необходимо узнать значения для длины основания и ширины параллелепипеда. Основание параллелепипеда имеет форму ромба со стороной 6 см и углом 60 градусов, поэтому мы можем использовать формулы для ромба, чтобы найти значения для длины основания и ширины параллелепипеда:
\[ b = 2l \sin(\theta), \quad l = \frac{a}{2 \sin(\theta)},\]
где \( a \) - длина стороны ромба, \(\theta\) - угол между сторонами ромба.

Подставим значения для стороны ромба равной 6 см и угла между сторонами равного 60 градусов в эти формулы и найдем значения для длины основания и ширины параллелепипеда:
\[ b = 2 \cdot \left(\frac{6}{2 \sin(60^\circ)}\right), \quad l = \frac{6}{2 \sin(60^\circ)}.\]

Теперь, подставим найденные значения в формулу площади боковой поверхности параллелепипеда и произведем вычисления:
\[ S_{\text{бп}} = 72 + 12 \cdot \frac{6}{2 \sin(60^\circ)} + 2 \cdot \frac{6}{2 \sin(60^\circ)} \cdot h.\]

Это наш итоговый ответ. Вычислив это выражение, мы найдем площадь боковой поверхности параллелепипеда.