Какова площадь боковой поверхности полной пирамиды SABCD, если площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна

  • 58
Какова площадь боковой поверхности полной пирамиды SABCD, если площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна 35 кв. см ​​и AK:KS=1:3?
Valentinovna
68
Для решения этой задачи, мы можем использовать некоторые основные свойства пирамид.

Для начала, давайте вспомним, что у нас есть усеченная пирамида с основанием SABCD, где S - вершина, а A, B, C и D - вершины базы. Также, у нас имеется отношение AK:KS = 1:3, где K - точка пересечения высоты пирамиды и боковой грани. Нам нужно найти площадь боковой поверхности полной пирамиды SABCD.

Для начала давайте обозначим высоту полной пирамиды как h. Так как у нас есть отношение AK:KS = 1:3, мы можем сделать следующую важную особенность: AK = h/4, а KS = (3/4)h.

Теперь давайте выясним площадь боковой поверхности усеченной пирамиды. У нас есть формула для площади боковой поверхности усеченной пирамиды:

Struncated=LP1+P22

Где L - образующая, а P1 и P2 - периметры верхнего и нижнего основания. В нашем случае усеченной пирамиды, чтобы она была основанием, мы можем рассмотреть четырехугольник DSCK. Значит, периметр верхнего основания равен P1 = DK + KC + CS = AB + BC + CS. Заметим, что AB и BC остаются неизвестными для нас, но у нас есть другая особенность: DK = AK + KC = AK + KS = AK + (3/4)h. Таким образом, P1 = AB + BC + CS = (AK + (3/4)h + AB) + BC + CS.

Теперь давайте выразим L через AK и KS. Рассмотрим прямоугольный треугольник AKS, где мы знаем, что AK = (AK + KS)/4 = h/4. L - это гипотенуза этого треугольника, поэтому мы можем применить теорему Пифагора: L^2 = AK^2 + KS^2 = (h/4)^2 + ((3/4)h)^2 = (1/16 + 9/16)h^2 = (10/16)h^2 = (5/8)h^2. Следовательно, L = (sqrt{5}/4)h.

Теперь, вернемся к формуле для площади боковой поверхности усеченной пирамиды. Подставим формулы для L, P1 и P2 и изначальную площадь боковой поверхности S_{truncated} = 35 кв. см в формулу:

35=(54h)((AK+(3/4)h+AB)+BC+CS)2

35=58h(AK+(3/4)h+AB+BC+CS)

Теперь мы можем приступить к вычислениям. Нам нужно учесть отношение AK:KS = 1:3, что значит AK = (1/4)KS. Заменим AK в уравнении:

35=58h((14KS)+(34h)+AB+BC+CS)

35=58h(14KS+34h+AB+BC+CS)

Теперь вспомним, что KS = (3/4)h, таким образом KS = (9/16)h. Заменим KS в уравнении:

35=58h(14916h+34h+AB+BC+CS)

35=58h(964h+34h+AB+BC+CS)

Теперь давайте продолжим с расчетами и раскроем скобки:

35=58h(9h64+3h4+AB+BC+CS)

35=58h(9h+48h+64AB+64BC+64CS64)

35=58h(57h+64AB+64BC+64CS64)

Теперь, чтобы упростить уравнение, давайте умножим обе стороны на 8/(\sqrt{5}h):

3585h=57h+64AB+64BC+64CS64

2805h=57h+64AB+64BC+64CS64

Теперь, чтобы избавиться от дроби, давайте умножим обе стороны на 64:

642805h=57h+64AB+64BC+64CS

Теперь мы можем продолжить с вычислениями, чтобы решить уравнение:

642805h=57h+64AB+64BC+64CS

642805h57h=64AB+64BC+64CS

642805h57h55=64AB+64BC+64CS

6428057h55h=64AB+64BC+64CS

6428057h5h5=64AB+64BC+64CS

64280h557h5h5=64AB+64BC+64CS

6428057h5h5=64AB+64BC+64CS

Теперь мы можем выразить площадь боковой поверхности полной пирамиды SABCD через исходные данные:

Stotal=64AB+64BC+64CS=6428057h5h5

Итак, площадь боковой поверхности полной пирамиды SABCD равна 6428057h5h5 квадратных сантиметров.