Какова площадь боковой поверхности полной пирамиды SABCD, если площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна

Valentinovna

68

Для решения этой задачи, мы можем использовать некоторые основные свойства пирамид.

Для начала, давайте вспомним, что у нас есть усеченная пирамида с основанием SABCD, где S - вершина, а A, B, C и D - вершины базы. Также, у нас имеется отношение AK:KS = 1:3, где K - точка пересечения высоты пирамиды и боковой грани. Нам нужно найти площадь боковой поверхности полной пирамиды SABCD.

Для начала давайте обозначим высоту полной пирамиды как h. Так как у нас есть отношение AK:KS = 1:3, мы можем сделать следующую важную особенность: AK = h/4, а KS = (3/4)h.

Теперь давайте выясним площадь боковой поверхности усеченной пирамиды. У нас есть формула для площади боковой поверхности усеченной пирамиды:

\[ S_{truncated} = L \cdot \frac{P_1 + P_2}{2} \]

Где L - образующая, а P1 и P2 - периметры верхнего и нижнего основания. В нашем случае усеченной пирамиды, чтобы она была основанием, мы можем рассмотреть четырехугольник DSCK. Значит, периметр верхнего основания равен P1 = DK + KC + CS = AB + BC + CS. Заметим, что AB и BC остаются неизвестными для нас, но у нас есть другая особенность: DK = AK + KC = AK + KS = AK + (3/4)h. Таким образом, P1 = AB + BC + CS = (AK + (3/4)h + AB) + BC + CS.

Теперь давайте выразим L через AK и KS. Рассмотрим прямоугольный треугольник AKS, где мы знаем, что AK = (AK + KS)/4 = h/4. L - это гипотенуза этого треугольника, поэтому мы можем применить теорему Пифагора: L^2 = AK^2 + KS^2 = (h/4)^2 + ((3/4)h)^2 = (1/16 + 9/16)h^2 = (10/16)h^2 = (5/8)h^2. Следовательно, L = (sqrt{5}/4)h.

Теперь, вернемся к формуле для площади боковой поверхности усеченной пирамиды. Подставим формулы для L, P1 и P2 и изначальную площадь боковой поверхности S_{truncated} = 35 кв. см в формулу:

\[ 35 = \left(\frac{\sqrt{5}}{4}h\right) \cdot \frac{\left((AK + (3/4)h + AB) + BC + CS\right)}{2} \]

\[ 35 = \frac{\sqrt{5}}{8}h \cdot (AK + (3/4)h + AB + BC + CS) \]

Теперь мы можем приступить к вычислениям. Нам нужно учесть отношение AK:KS = 1:3, что значит AK = (1/4)KS. Заменим AK в уравнении:

\[ 35 = \frac{\sqrt{5}}{8}h \cdot \left(\left(\frac{1}{4} \cdot KS\right) + \left(\frac{3}{4}h\right) + AB + BC + CS\right) \]

\[ 35 = \frac{\sqrt{5}}{8}h \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot KS + \frac{3}{4}h + AB + BC + CS\right) \]

Теперь вспомним, что KS = (3/4)h, таким образом KS = (9/16)h. Заменим KS в уравнении:

\[ 35 = \frac{\sqrt{5}}{8}h \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{16}h + \frac{3}{4}h + AB + BC + CS\right) \]

\[ 35 = \frac{\sqrt{5}}{8}h \cdot \left(\frac{9}{64}h + \frac{3}{4}h + AB + BC + CS\right) \]

Теперь давайте продолжим с расчетами и раскроем скобки:

\[ 35 = \frac{\sqrt{5}}{8}h \cdot \left(\frac{9h}{64} + \frac{3h}{4} + AB + BC + CS\right) \]

\[ 35 = \frac{\sqrt{5}}{8}h \cdot \left(\frac{9h + 48h + 64AB + 64BC + 64CS}{64}\right) \]

\[ 35 = \frac{\sqrt{5}}{8}h \cdot \left(\frac{57h + 64AB + 64BC + 64CS}{64}\right) \]

Теперь, чтобы упростить уравнение, давайте умножим обе стороны на 8/(\sqrt{5}h):

\[ \frac{35 \cdot 8}{\sqrt{5}h} = \frac{57h + 64AB + 64BC + 64CS}{64} \]

\[ \frac{280}{\sqrt{5}h} = \frac{57h + 64AB + 64BC + 64CS}{64} \]

Теперь, чтобы избавиться от дроби, давайте умножим обе стороны на 64:

\[ 64 \cdot \frac{280}{\sqrt{5}h} = 57h + 64AB + 64BC + 64CS \]

Теперь мы можем продолжить с вычислениями, чтобы решить уравнение:

\[ \frac{64 \cdot 280}{\sqrt{5}h} = 57h + 64AB + 64BC + 64CS \]

\[ \frac{64 \cdot 280}{\sqrt{5}h} - 57h = 64AB + 64BC + 64CS \]

\[ \frac{64 \cdot 280}{\sqrt{5}h} - \frac{57h \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 64AB + 64BC + 64CS \]

\[ \frac{64 \cdot 280 - 57h \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5}h} = 64AB + 64BC + 64CS \]

\[ \frac{64 \cdot 280 - 57h \cdot \sqrt{5}}{h \cdot \sqrt{5}} = 64AB + 64BC + 64CS \]

\[ \frac{64 \cdot 280}{h \cdot \sqrt{5}} - \frac{57h \cdot \sqrt{5}}{h \cdot \sqrt{5}} = 64AB + 64BC + 64CS \]

\[ \frac{64 \cdot 280 - 57h \cdot \sqrt{5}}{h \cdot \sqrt{5}} = 64AB + 64BC + 64CS \]

Теперь мы можем выразить площадь боковой поверхности полной пирамиды SABCD через исходные данные:

\[ S_{total} = 64AB + 64BC + 64CS = \frac{64 \cdot 280 - 57h \cdot \sqrt{5}}{h \cdot \sqrt{5}} \]

Итак, площадь боковой поверхности полной пирамиды SABCD равна \(\frac{64 \cdot 280 - 57h \cdot \sqrt{5}}{h \cdot \sqrt{5}}\) квадратных сантиметров.