Сколько существует уникальных пар (x; y) с целочисленными координатами, для которых векторы a = (x; -2) и b

Zinaida_8645

17

Чтобы найти количество уникальных пар (x; y) с целочисленными координатами, для которых векторы a = (x; -2) и b = (1; y) коллинеарны, мы можем использовать определение коллинеарности векторов.

Векторы a и b коллинеарны, если они сонаправлены или противоположно направлены. Мы можем рассмотреть эти два случая отдельно и найти количество уникальных пар для каждого из них.

1. Сонаправленные векторы:
Когда векторы a и b сонаправлены, их координаты должны быть пропорциональны друг другу. То есть x/1 = (-2)/y. Мы можем записать это как соотношение:
\[\frac{x}{1} = \frac{-2}{y}\]

Чтобы найти количество уникальных пар для этого случая, нам нужно найти количество различных значений x и y, удовлетворяющих этому соотношению. Мы можем решить это уравнение, перекрестно умножая:
x*y = -2*1
xy = -2

2. Противоположно направленные векторы:
Когда векторы a и b противоположно направлены, их координаты также должны быть пропорциональны друг другу. То есть x/1 = (-2)/(-y). Мы можем записать это соотношение:
\[\frac{x}{1} = \frac{-2}{-y}\]

Аналогично первому случаю, нам нужно найти количество различных значений x и y, для которых это соотношение верно. Мы можем решить это уравнение, перекрестно умножая:
x*(-y) = -2*1
-xy = -2

Теперь у нас есть два уравнения: xy = -2 и -xy = -2. Если мы решим эти уравнения, мы найдем значения x и y. Подставив эти значения, мы найдем пары (x; y), которые удовлетворяют условию коллинеарности векторов a и b, а также являются целыми числами.

\[
\begin{align*}
&\text{Решение первого уравнения:} &xy &= -2 \\
&\text{Решение второго уравнения:} &-xy &= -2 \\
\end{align*}
\]

Из первого уравнения, мы можем представить все уникальные пары (x, y) как (-1, 2) и (1, -2).

Из второго уравнения, мы также получаем все уникальные пары (x, y) как (-1, 2) и (1, -2).

Таким образом, существует две уникальные пары целочисленных координат (x; y), для которых векторы a = (x; -2) и b = (1; y) коллинеарны и имеют целочисленные координаты.