Какова площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды PABCD (P - вершина), при условии, что AB

Змей

49

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно найти периметр основания и высоту пирамиды. Затем мы можем использовать формулу для нахождения площади боковой поверхности пирамиды, которая равна произведению периметра основания на половину высоты.

Для начала рассмотрим основание пирамиды. В данной задаче сказано, что AB = 24. Поскольку это правильная четырехугольная пирамида, все стороны основания равны между собой. То есть, BC = CD = DA = 24.

Теперь найдем высоту пирамиды. Вершина пирамиды P, а сторона PC является высотой, опущенной на основание ABCD. Она перпендикулярна основанию и проходит через центр основания. Но поскольку основание является четырехугольником, нам нужно найти высоту перпендикулярную к стороне AB.

Чтобы найти высоту перпендикулярную к стороне AB, нам понадобится применить теорему Пифагора. Мы знаем, что стороны пирамиды равны между собой, поэтому можно сказать, что треугольник PAB является равнобедренным треугольником. Пусть h будет высотой перпендикулярной к AB. Затем мы можем применить теорему Пифагора:

\[h^2 = PC^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2\]
\[h^2 = PC^2 - 12^2\]

Мы знаем, что PC равна длине стороны основания (AB) умноженной на √2, так как это равнобедренный треугольник. То есть, PC = AB√2.

Подставим это обратно в уравнение:

\[h^2 = (AB\sqrt{2})^2 - 12^2\]
\[h^2 = (24\sqrt{2})^2 - 12^2\]
\[h^2 = 576 \cdot 2 - 144\]
\[h^2 = 1152 - 144\]
\[h^2 = 1008\]
\[h = \sqrt{1008}\]
\[h \approx 31.749\]

Теперь, когда у нас есть периметр и высота пирамиды, мы можем найти площадь боковой поверхности. Формула для этого выглядит следующим образом:

\[S_{\text{бок}} = P \cdot \frac{1}{2} \cdot h\]

Где P - периметр основания, а h - высота пирамиды.

Периметр основания равен сумме всех сторон основания:

\[P = AB + BC + CD + DA\]
\[P = 24 + 24 + 24 + 24\]
\[P = 96\]

Теперь подставим значения в формулу:

\[S_{\text{бок}} = 96 \cdot \frac{1}{2} \cdot 31.749\]
\[S_{\text{бок}} = 48 \cdot 31.749\]
\[S_{\text{бок}} \approx 1523.952\]

Итак, площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды PABCD равна примерно 1523.952 квадратных единиц.